Головна » Алгебра

Основні методи розв’язування логарифмічних рівнянь

Мета уроку:

освітня:  продовжити роботу над пошуком шляхів розв’язування  логарифмічних рівнянь, формувати вміння аналізувати здобуті корені рівняння;

розвиваюча:  організувати діяльність з розвитку  уваги, математичного мовлення, робити висновки,  узагальнювати факти,  відпрацювати вміння говорити коротко, але по суті й переконливо;                                

виховна:  виховувати цілеспрямованість,  вміння працювати в колективі, бути стійким перед                               труднощами, створювати ситуацію успіху для формування позитивного ставлення до себе ”я можу, у мене все вийде”.                       

Тип уроку: узагальнення і систематизації знань.   

Обладнання: мультимедійна дошка, проектор, слайди, конверт із завданнями.

Очікувані результати: учні повинні вміти знаходити методи та розв’язувати логарифмічні рівняння.

                                         Девіз уроку:  “Не достатньо мати лише добрий  розум,

                                                                 Головне-це раціонально застосовувати його”

                                                                                                                       Рене Декарт

Хід  уроку

 I.Організаційний момент.

 II. Перевірка домашнього завдання.

Слова вчителя: “На попередньому уроці ми ознайомилися зі способами розв’язання логарифмічних рівнянь.”

Додому було завдання: підготувати рекламу про логарифмічні рівняння

1 групі: групі теоретиків.

2 група: це група практиків, завдання якої показати як розв’язуються  логарифмічні рівняння.

Зразки реклами про логарифмічні рівняння. Презентація.

 

Увага!!!

Якщо вас зацікавили логарифмічні рівняння, то поспішайте підняти руку й хутчіше до дошки, щоб відчути впевненість у математичних знаннях. Вам гарантована висока оцінка.

                     То ж поспішайте!

Якщо вам набридло сидіти без діла, якщо ви хочете перевірити свої знання,- розв’язуйте логарифмічні рівняння та нерівності.  Переходьте від однієї основи логарифма до іншої, і ви дізнаєтеся, на що  здатен ваш мозок.
Подивіться на екран.

   «Програма зовнішнього тестування з математики (2011)»

Назва розділу, теми

Знання

Предметні уміння та способи навчальної діяльності

 Логарифмічні, вирази та їх тотожні перетворення.

Логарифмічні рівняння.

• змінна, вираз зі змінною та його область визначення;

• означення і властивості логарифма; десятковий і натуральний логарифми, логарифмічні рівняння.

• виконувати тотожні   перетворення многочленів,

що містять  логарифмічні  функції та знаходити їх числове значення;

• спрощувати  логарифмічні вирази;

• доводити  логарифмічні  тотожності;

• розв’язувати логарифмічні рівняння.

Слів не  треба. Логарифмічні рівняння треба розв’язувати. Це є запорукою успішного складання зовнішнього тестування,  шлях до вищих учбових закладів, у стінах яких ми будемо навчатися для того,  щоб стати кваліфікованими спеціалістами.

4.     Я - не просто логарифмічне рівняння.  Я - тісно зв’язане з логарифмом та його властивостями. А логарифми проникають і в галузь психології. Досліди показали, що організм людини ніби “логарифмує”  отримані ним подразнення, тобто величина відчуття приблизно пропорційна десятковому логарифму величини подразнення.

В астрономії гучність шуму й яскравість зірок оцінюється однаковим чином за  логарифмічною шкалою.  «Величина» зірки  являє собою  логарифм її фізичної яскравості. Гучність виражена в белах дорівнює десятковому логарифму відповідної фізичної величини. За логарифмічною спіраллю  закручено багато галактик, у тому числі Галактика, яка належить Сонячній системі. 

Раковини багатьох молюсків, равликів, а також роги таких ссавців як архари (гірські кози), закручені за логарифмічною спіраллю. Можна сказати, що ця спіраль є математичним символом відношення форм росту. Великий німецький поет Іоганн Вольфганг Гете вважав її математичним символом життя й духовного розвитку. У соняшника зернята розташовані також за дугами, близькими до логарифмічної спіралі. Один з найбільш поширених павуків, епейра, сплітаючи павутину, закручує нитки навколо центра за логарифмічною спіраллю. Хіба це не цікаво?

Були поети, які згадували логарифми  у своїх віршах. У  вірші «Фізики й лірики» Борис Слуцький  написав:

                                          Потому-то, словно пена,

                                          Опадают наши рифмы.

                                          И величие степенно

                                          Отступает в логарифмы.

 

Отже, як ми бачимо логарифми відіграють важливу роль у житті. Якщо ви хочете пов’язати  своє життя з наукою, вивчайте логарифми та логарифмічні рівняння.

Уявіть, що зараз ви презентуєте логарифмічні рівняння та нерівності перед слухачами аудиторії, яка про них мало, або навіть нічого не знає. Як ви це зробите?

(Група учнів або один учень виступає зі своєю презентацією).

 

III. Актуалізація опорних знань.

а) Для  розуміння наступного потрібно  розуміння попереднього. Застосуємо технологію «Асоціативний кущ» - повторимо  відомості про  властивості  логарифмів, оскільки вони дають змогу  розв’язувати  логарифмічні  рівняння  і нерівності. (З’являється на мультимедійній дошці таблиця, використовуючи яку, учні-теоретики  узагальнюють поняття  логарифма та його властивостей).

 

б) усно: розв’язати рівняння  (використовуючи таблицю із коментуванням, що було використано) – група теоретиків

 

log x=2

3log x=4

log x=

log x=1

log (-x)=-2

log (x-1)=5

2 =25

lgIxI=-1

log (x+5)=log 3

lgx2=0

lgIxI=2

lg(lgx)=1

lg(x-3)=2

lg(x-5)=-1

lg(cos)=0

lg(x+2)=lg(x+2)

 

3.Обговорення запитань,  що виникли  в ході усного рахунку.

4.Показати графічно, що рівняння lgx=lg2x   не має розв’язків

lg 2x=lg2+lgx.

В одній і тій самій системі координат будуємо графіки  функцій: y=lgx  та        y=lgx+lg2.  Графіки функції не перетинаються,   отже рівняння розв’язку не має.

 

IV. Мотивація навчальної діяльності.

Інтерв’ю.

Слова вчителя. Я хочу, щоб кожний  з вас пояснив, які існують способи розв’язування логарифмічних рівнянь.

Повідомляємо тему і мету уроку.

(На екрані з’являється шпаргалка).

Основні методи  розв’язування логарифмічних рівнянь.

1. Метод потенціювання, тобто зведення рівняння до виду

log x =b; a>0; a≠1;  b є R x=ab;

log f(x) = log g(x); a>0; a≠1    

2. Метод введення нової змінної.

3.Логарифмування обох частин рівняння

4.Застосування монотонності функції.

 

V. Звіт про роботу групи-практиків. Застосування знань учнів до розв’язування рівнянь.

Приклад 1.      

Розв'яжіть рівняння 1оg3 х+2log3 (х+8) = 4.

 Розв'язання

І спосіб. Рівняння розглядатимемо на множині D = (0;+ ).

 Викори­стаємо властивості логарифма:

 

log3 х(х+8)2 =4  х3+16х2+64х=34  х3+16х2+64х-81 = 0.  

 

Цілі корені рівняння є дільниками вільного члена:

81: ±1;±3;±9;±27;±81.

 Безпосередньою перевіркою встановлюємо, що х=1 є розв'язком рівняння. Поділимо многочлен х3 +16х2 +64х-81 на двочлен х-1: Ділення виконаємо за допомогою схеми Горнера:

 

х3 +16х2 +64х-81 = (х-1)(х2 +17х+81).

Отже, рівняння (*) рівносильне сукупності двох рівнянь

 

На екрані з’являється  2 спосіб розв’язування рівняння, прокоментувати його.

II спосіб. Легко перевірити, що х =1 є розв'язком даного рівняння. А  далі    найзручніше скористатися тим, що логарифмічна функція log а х і з основою а>1 є зростаючою, тому і функція?(х) = log3 х+2log3 (х+8), Що є лівою частиною рівняння, такoж зростає. Це означає, що? (х)<4, якщо 0<х<1 і? (х)>4, якщо х>1. Цим самим доведено, що задане рівняння має єдиний розв'язок х =1.

Відповідь. {1}.

     Приклад 2. Розв'яжіть рівняння хlog x-5lg x= 0,0001.

Розв'язання. Прологарифмуємо дане рівняння за основою 10.

lg xlg x-5lgx= lg 0,0001     (lg3x-5 lgx )lg x = - 4.

Останнє рівняння розв'яжемо, використовуючи заміну lgx=t:

 

Відповідь{ ; ;  10;100;}

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння

lg2(4-x)+lg(4-x)∙lg(x+ )=2lg2(x+ ).

Розв’язання. Рівняння є однорідними. Тому розв’яжемо йогo, розділивши обидві частини  рівності на lg2(x+ )≠0 ( Оскільки    x=    не є коренем рівняння).

 

Приклад 4.log  (x+3)=3-x

 Розв’язування

Встановимо монотонність функції в лівій і в правій частинах:

y=log  (x+3)-зростаюча

               y=3-x - спадна

 

Підбором знайдемо корені x=2, 1=1 перевірка  log 5=3-2;

Отже, x=2

Відповідь 2.

 

VI. «Аукціон» розв’язання логарифмічних рівнянь. ( Кожен учень обирає  й  розв’язує  по чотири рівняння, за що отримує відповідну кількість балів. Ця робота розпочинається в класі, а закінчується вдома).

     Увага на екран!

 

Група А (кожне рівняння по 2 бали)

1.     lg(x2-2x)=lg(2x+12),

2.     log 2x+3log x-4=0,

3.     x1+lgx=100,

4.     log ( -2)=1,

5.     log x=log 1,5+log 8,

6.     + =1,

7.     lg(3x-2)=3-lg 25,

8.     lg2x4-lgx4-2=0,

9.     lg(x+6)- lg(2x-3)=2-lg25.

Група Б (кожне рівняння по 3 бали)

1.     log3x=1+logx9,

2.     25lgx=5+4xlg5,

3.     xlog2x-2=8,

4.     lg =lg4,

5.     2lg(x+0,5)-lgx(x-1)=lg(x+2,5)+lg2,

6.     logx(2x2-3x-4)=2,

7.     3log x+xlog3x=162,

8.     lg4x-10lg2x+9=0,

9.     32-log3x=81x.

 

VII. Рефлексія. Підбиття підсумків, оцінювання результатів уроку.

       У  кожного учня є лист самоконтролю, який ви отримали на початку уроку  заповніть його. Для цього треба дати відповіді  на запитання.

 

Лист самоконтролю.

1.     Чи досяг я мети уроку?

 

                    Так.                      Ні

 

2.     Я працював на  % і заслуговую  оцінку_

З’являються на екрані слова: “Не махай на все рукою, не лінуйся, а учись, бо чого навчишся в школі знадобиться ще колись”.

Отже,

1.     Чи є універсальний спосіб розв’язування логарифмічних рівнянь (ні).

2.     Який спосіб використовувався найчастіше(метод потенціювання).

3.     Який спосіб ми розглядали сьогодні ще? (метод заміни) 


Теги: логарифмічні рівняння, Марченко Л.І.
Навчальний предмет: Алгебра
Переглядів/завантажень: 655/161


Схожі навчальні матеріали:
Всього коментарів: 0
avatar