Головна » Геометрія

Союз гіпотенузи та катетів. Теорема Піфагора. Урок з математики для 8 класу

Задачі проекту: 

- розширити знання учнів з геометрії про прямокутний трикутник та теорему  Піфагора;

- Познайомити учнів з різними доведеннями теореми Піфагора;

- усвідомити важливість даної теореми;

Тематичні питання:

Хто такий Піфагор? Які відкриття в математиці зробив він та його учні?
Чому теорема про сторони трикутника носить ім’я Піфагора й чи відповідає це дійсності?
Які існують способи доведення теореми Піфагора?
Де і як можна її використовувати?
 Сьогоднішня актуальність теореми Піфагора?

 Мета: поглибити та систематизувати знання учнів про прямокутний трикутник та його елементи;

формувати обчислювальні навички учнів, розвивати самостійність мислення, вчити об’єктивно оцінювати себе і коригувати свою діяльність  та інших учнів в ході виконання проректу;
формувати в учнів вміння здійснювати вибір навчально  – пізнавального завдання; вміння осмислювати й використовувати інформацію з різних джерел; вміння співпрацювати в групах, проявляти ініціативу; робити висновки;
виробити у школярів практичні навички під час використання теореми Піфагора;
виховувати спостережливість, науковий підхід, та любов до математики.

Необхідне устаткування: комп’ютер, принтер, цифровий

                                             фотоапарат

Додаткове приладдя та витратні матеріали: Кольоровий папір, фломастери, папір, учнівські зошити.

 

Анотація.

Під час роботи над проектом, учні повинні не тільки навчитися збирати первинну інформацію познайомляться із теоремою Піфагора, навчаться її доводити і застосовувати під час розв’язання задач. Удосконалять та поглиблять свої знання із теми. Виявлять зв'язок математики з мистецтвом, музикою, географією, астрономією. Відкривають для себе багато нового, цікавого захоплюються історією математики. Навчаться захищати свій проект перед однокласниками, критично мислити, розмірковувати, робити висновки, приймати самостійні рішення, діють у команді спілкуючись і співпрацюючи.

 

Опис проекту.

Проект пропонується для реалізації з учнями 8 класу під час вивчення теми «Теорема Піфагора». Даний проект об’єднує історію, математику, географію та інформатику. У ході практичної діяльності учні повинні дослідити біографію відомого вченого, розглянути його знаменну теорему, способи її доведення і застосування для розв’язання задач. Також під час роботи над проектом учні повинні дослідити теорему Піфагора, використовуючи деякі способи її доведення. Працюючи над проектом, учні розширюють і поглиблюють свої знання з геометрії. Клас поділено на чотири групи «біоргафи», «теоретики», «практики», «лірики»

Очікувані продукти: комп’ютерна презентація.

Етапи роботи над проектом:

об’єднання учнів у групи за інтересами;
розподіл обов’язків;
пошук інформації; оформлення матеріалів;
пошук відповідей на тематичні питання, узагальнення результатів, досліджень і створення звіту у вигляді презентації; відгуків, фото;

 

Діяльність учасників та етапи проведення проекту.

 

Підготовчий:

Учитель коментує тему і мету проекту. Мотивує діяльність учнів. Обговорює цілі і головні питання проекту.

 

Планування:

Учні об’єднуються в групи: біографи ( вивчають біографію); теоретики (розшукують різні способи доведення теореми Піфагора); практики (розглядають питання застосування теореми Піфагора до розв’язання задач), лірики (шукають вірші про теорему Піфагора). Учні розприділяють обов’язки.

 

Дослідницький:

Відбувається збір інформації по теоремі Піфагора, пошук відповідей на основні питання з подальшим обговоренням, аналізом та корекцією. Кожна група обирає питання та відповідає на них.

 

Презентативний:

Компютерна презентація по даному проекту.

 

Разом навчатися не тільки легше

Й цікавіше, але й значно ефективніше.

Є. С. Полат.

 

«Біографи».

Вивчали біографію Піфагора.

Піфагор був філософом і математиком.

Працював над властивостями цілих чисел.

Інформатор цілого покоління,

Філосовії навчав своїх учнів,

Арифметику вивчав,

Геометрія без нього, як без рук,

Організував «піфагорійський союз» та школу для дітей,

Релігії у ній навчав.

   Після Фалеса Мілетського визначну роль у розвитку математики відіграв видатний представник еллінської культури — філософ і математик Піфагор. Точних історичних даних про життя і діяльність Піфагора не збереглося. Відомості про нього знаходимо лише в окремих висловлюваннях, спогадах і коментарях до наукових праць авторів пізнішого часу.

  За переказами, Піфагор народився близько 580 р. до н. е. на о. Самос біля іонійського узбережжя Середземного моря, в багатій купецькій сім'ї.

Перші наукові знання він здобув від ученого Ферекіда зм. Сіроса. Згодом Піфагор познайомився з уже відомим на той час філософом-математиком Фалесом і за його порадою вирушив до Єгипту — центру тодішньої наукової і дослідницької діяльності. Проживши в Єгипті 22 роки і у Вавілоні 12 років, він здобув глибокі знання з природничих і математичних наук.

   Повернувшись на о. Самос, Піфагор планував створити філософську школу.

Але з невідомих причин він незабаром залишив Самос і оселився в м. Кротоні — грецькій колонії на півдні Італії. Тут Піфагор знайшов сприятливі умови для своєї діяльності. Він зібрав навколо себе групу однодумців, головним чином аристократів, і створив таємний гурток. Члени гуртка вивчали різні питання філософії і математики. Піфагорійська школа розширювалася, з'явилися її відділення в інших містах. Але діяльність піфагорійців мала таємний характер. Нових членів до школи Піфагора приймали за особливим ритуалом. Кожний новий член гуртка давав клятву зберігати в таємниці все, що відбувається у школі, а також не розповідати нічого про її засновника Піфагора, якого вважали пророком.

      Члени піфагорійської школи мали спеціальний знак — пентаграму

(правильний п'ятикутник), за яким вони впізнавали один одного. Історичні умови того часу (кінець VI—початок V ст. до н. е.) характеризуються широким рухом народу (демосу) проти влади аристократів.

  Хвилі народного гніву докотилися і до Кротона. Рятуючись від нього,"Піфагор разом із своїми учнями переїхав до сусіднього міста Тарента.

  Але й тут народ рішуче засудив реакційну роль таємної організації піфагорійців. У Метапонті, куди Піфагор утік з Тарента, в одній з нічних

вуличних сутичок обірвалося життя 80-річного вченого. Його учні змушені були розійтися по всій Греції. Щоб зрозуміти роль піфагорійської школи в

розвитку математичної науки, слід охарактеризувати її філософське вчення. Піфагорійці вважали, що в природі існують дух і матерія, і надавали числам містичного значення. Вони гадали, що речі — це відображення чисел, число — це закон і зв'язок світу, це сила, яка керує богами і смертними. Тому природу і всевладну силу числа можна бачити не тільки в ділах божих, а й в усіх людських заняттях — мистецтві, ремеслах, музиці. Піфагор відкрив важливий закон музики, за яким висота тону струни обернено пропорційна до її довжини. Він визначив також, що коли довжини струн відносяться як 6:4:3, то при одночасному звучанні вони дають приємний гармонійний акорд; якщо ж ці числа змінити, то о ж ці числа змінити, то звукова гармонія порушується. Піфагор поширив закон гармонії на інші явища природи, узагальнив його. Але це привело до деяких неправильних висновків. Наприклад, піфагорійці вважали, що радіуси небесних сфер (їх вони налічували 10), обертаючись навколо «центрального вогню», перебувають у такому самому відношенні, як і довжини струн, що утворюють гармонію. Вони твердили, що небо є число і гармонія. Позитивним тут був здогад про те, що земля рухається. Виходячи із своїх ідей, піфагорійці проводили дослідницьку роботу в математиці. Вони комбінували числа і, надаючи їм містичного значення, ділили їх на числа добрі — непарні числа; злі — парні числа: досконалі —кожне з яких дорівнює сумі своїх дільників 1 (якщо з числа-дільників виключити саме число). Наприклад, досконалим числом є б, бо сума його дільників 1, 2, 3 дорівнює шести. Числа дружні — це числа, з яких одне дорівнює сумі дільників другого, але також без цього самого числа. Були в них числа пірамідальні, многокутні і т. д. Зокрема,, прямокутним називали ціле число, що дорівнює добутку двох інших цілих чисел.

Піфагор був не лише великим математиком, а й філософом. Його вислови актуальні і в наш час.

         1) Роби лише те, що в результаті не засмутить тебе і не примусить каятися.

         2) Не роби ніколи того, чого ти не знаєш. Але навчися усього, що варто знати, і тоді будеш вести спокійне життя.

         3) Не зневажай здоров’ям свого тіла. Доставляй йому вчасно їжу і питво, і вправи, без яких воно бідує.

         4) Привчайся жити просто, без розкоші.

 

         5) Не закривай очей, коли хочеться спати, не проаналізувавши успіх своїх вчинків за минулий день.

         6) Не порушуй справедливість.

         7) Не сідай на подушку (тобто не зупиняйся на досягнутому).

         8) Не гризи свого серця (тобто не піддавайся меланхолії).

         9) Не поправляй вогню мечем (тобто не дратуй тих, хто і без того в гніві).

         10) Не приймай під свій дах балакунів і легковажних людей.

         11) Усе впорядковується відповідно до чисел.

         12) Лише не благородна людина здатна в очі хвалити, а поза очі злословити.

         13) Тимчасова невдача краще тимчасової удачі.

         14) Твори велике, не обіцяючи великого.

         15) Живи з людьми так, щоб твої друзі не стали недругами, а недруги стали д  рузями.

 

 «Теоретики».

«Немає більш надійного способу доказу, ніж спосіб математиків, які підтверджують виведені формули прикладами й перевіркою на практиці»

М.В. Ломоносов.

 

Теорема Піфагора має народні назви. 

         У Франції і деяких областях Німеччини в середні віки її називали „ослиним мостом”, тому зо доведення теореми було величезною перешкодою, так званим мостом, перейти який могли тільки розумні учні.

         У математиків арабського Сходу ця теорема одержала назву „теореми нареченої”. Справа в тому, що в деяких списках „Начал” Евкліда ця теорема називалася „теоремою німфи” за подібність креслення з метеликом, що грецькою звався німфою. Але цим словом греки називали деяких богинь, а також наречених. При перекладі арабський перекладач, не звернувши уваги на креслення, переклав слово „німфа” як „наречена”, а не „метелик”.

         А відома всім школярам назва „Піфагорові штани” виникла через схожість креслення до Евклідового доведення теореми зі штанами.

Розповіли, що теорема Піфагора не зовсім справедливо названа на його честь. Ця теорема була відома за 1500 років до Піфагора. Існують великі сумніви, що саме йому належить доведення теореми. Але не зважаючи на це, діти переконані, що Піфагор та його учні зробили так багато для розвитку математики, що ця історична несправедливість не вражає.

Сам Піфагор формулював цю теорему так:

[2] «Сума площ квадратів, побудованих на катетах прямокутного трикутника, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі».

 

Діти показують декілька різних доведень теореми

.

спосіб доведення теореми Піфагора.

Індійський математик Бхаскара ІІ подав його у формі креслення, під яким було написано лише одне слово „Дивись!”.

Спосіб доведення без слів «Дивись!» він прийшов із давньої Індії

Показано два рівні квадрати із сторонами а + в і написано одне слово «дивись». В квадраті із Істріною а + в намальовано чотири рівних прямокутних трикутники з катетами а і в  на першому рисунку фігура вільна від трикутників, складається із двох квадратів із сторонами а і в, відповідно їх площа дорівнює а2 + в2. На наступному рисунку  фігура вільна від трикутників – це квадрат із стороною с, його площа дорівнює с2. Отже, оскільки квадрати рівні то с2 = а2 +в2, що і складає твердження теореми  Піфагора.

 

2 спосіб доведення теореми Піфагора.

Доведення Платона його можна зрозуміти дивлячись на рисунок.

 

3. спосіб доведення теореми Піфагора.

Цей метод доведення побудований на розрізанні квадратів, побудованих на катетах, і складанні одержаних частин на квадраті, побудованому на гіпотенузі

 

4. спосіб доведення теореми Піфагора.

Алгебраїчний спосіб.

Це доведення великого індійського математика Бхаскари. Вона також супроводжувалось словом

«дивись!».

На даному рисунку

С2= 4 ∙ ав +(в – а)2,

С2 = 2ав +в2 – 2ав + а2,

С2 = в2 + а2.

 

5.  спосіб доведення теореми Піфагора.

Доповнено прямокутний трикутник до прямокутника і скористаємось теоремою про суму  квадратей діагоналей.

2(а2 +в2) = 2с2, або а2 + в2 = с2.

6.  спосіб доведення теореми Піфагора.

 

До кола із центром у точці С проведемо дотичну АВ і січну АМ, яка проходить через центр кола С

За теоремою про січну і дотичну АВ2 = АД2∙ АМ. (1) Оскільки АС = СД + АД,

АМ = АС + СМ = АС + СВ, то АД = АС – СД = АС – СВ. Підставимо ці значення в формулу (1) отримаємо

АВ2 = (АС – СВ)(АС + СВ), або АВ2 = АС2 – СВ2,

АВ2 +СВ2 = АС2, що і потрібно було довести.

 

 «Практики».

 

Усе, що я пізнаю, я знаю, для чого

Це мені потрібно, де і як я можу ці

Знання застосовувати.

В. Кильпатрик

Ці задачі не прості,

Застосуєш їх в житті.

Щоб їх добре розв’язати,

Геометрію треба знати.

 

Вони займаються питаннями застосування теореми Піфагора під час розв’язання задач.

Задача 1.

За 40м одна від однієї ростуть дві ялинки. Ви заміряли їх висоти: виявилося, що одна із них має висоту 31м, а інша, молода – 6м. Чи можете ви обчислити, якою є відстань між їхніми верхівками?

Розв’язання:

 

Шукана відстань АВ за теоремою Піфагора, дорівнює ВС2 + АС2 = 402 + 252 = 47,2 м (АС = АС1 – СС1 = 31- 6 = 25; СВ = СВ1 = 40).

Відповідь: висота між їхнім верхівками 47,2м.

 

Давайте перенесемося думками до давньої Індії. Помилуємося природою, відпочинемо біля річки і розглянемо індуську задачу про лотос. Такі задачі часто подавалися у віршах.

Задача2.

Над озером тихим

Висотою із пів фута підіймалася лотоса квітка, яка росла одинокою.

Та вітер скаженим поривом

Відніс її в бік.

І не стало видно квітки над водою.

Знайшов її рибалка ранньою весною

В двох футах від місця її росту.

І так, пропоную я вам запитання:

Яка в цьому місці глибина озера?

Розв’язання:

 

Нехай квітка лотоса знаходиться в точці М. нехай глубина озера дорівнює – х, тоді АМ = АВ = х + . Із прямокутного трикутника АВС

АВ2 – АС2 = ВС2, (х + ) – х2 = 22, х = .

Відповідь: глибина озера  фута.

 

Задача 3.

Знайти довжину драбини, прикладеної до будинку, якщо один її кінець находиться на відстані 4м від будинку, а другий на  зіткненні стіни і даху. Висота будинку дорівнює 8м.

Розв’язання:

 

▲КМР прямокутний, МК = 8м, МР = 4м

Знайти КР

КР2 = МК2 + МР2, КР2 = 82 + 42, КР =  =

Відповідь: довжина драбини м.

Задача4

На вершину єгипецької піраміди найкоротшим шляхом повзе мурашка із швидкістю 2м/хв. Скільки часу необхідно мурашці, щоб дістатися вершини піраміди, якщо довжина її основи 232м, а кут між бічним ребром і стороною 58○?

Розв ’язання.

 

Бічна грань піраміди – це рівнобедрений трикутник. Найкоротший шлях від основи до вершини – висота цього трикутника.

 

▲АВС – рівнобедрений. ВМ – висота, медіана ▲АВС.

АМ = 232: 2 = 116м

▲АМВ – прямокутний.

ВМ = АМ ∙tqА = 116 ∙tq58○  ≈ 186м.

Длятого, щоб подолати відстань 186м зі швидкістю 2м\хв, необхідно

186: 2 = 93 хв.

Відповідь: мурашці необхідно 93 хв.

Розв’язування задач з рукописів китайських математиків.

 

Задача. «Стрибок мавпи»

На дереві сиділи дві мавпочки: одна на самій верхівці дерева, інша на висоті 10 ліктів від землі. Другій мавпочці захотілося напитися води з джерела, що знаходиться на відстані 40 ліктів від дерева. Вона злізла із дерева і пострибала до води. У той самий час перша зістрибнула з дерева і потрапила до цього ж джерела. Обидві мавпочки подолали одинакову відстань. Визначіть з якої висоти зістрибнула мавпочка

 

Задача «Зламана пальма»

Пальма, що ма 40 ліктів висоту було зламано вітром. Її верхівка торкнулася землі за 20 ліктів від основи стовбура. Скажіть, на якій відстані було зламано пальму.

 

Задача «Дві вежі»

Дві вежі висотою 30 і 40 футів розміщені на відстані 50 футів одна від одної. Між ними знаходиться фонтан, до якого одночасно з верхівок веж з одинаковою швидкістю вилетіли два голуби. Визначте яка відстань від фонтана до кожної з двох веж, якщо голуби долетіли одночасно.

 

Задача про тополю.

На  березі  річки  тополя  росла

І  вітру  порив  її  стовбур  зламав.

Тополя  упала  і  стовбур  її

Кут  прямий  з  течією  ріки  утворив.

Пам’ятай,  в  тому  місці  ріка

Чотири  фути  була  шириною.

Верхівка  схилилась  до  краю,

Залишивши  три  фути  всього  над  водою.

Прошу,  тепер  швидше  скажи  мені  ти:

Тополя  якої  була  висоти?

 

«Лірики».

 

Піфагор виховав у людства віру в могутність розуму, переконаність у можливості пізнання природи, впевненість у тому, що ключем до таємниць світопобудови є математика.

«Не в кількості знань полягає наука, а в повному розумінні й майстерному застосуванні всього того, що знаєш»

Дістервег.

 

Німецький поет ХІХ століття Адельберт фон Шаміссо теоремі присвятив сонет.

 

Як Істину відкрив – сіять їй вічно,

Вона нам – найнадійніша опора:

Так в древній теоремі Піфагора

Й донині бездоганно все й логічно.

Богам дарунок щедрий був й незвичний

За те, що осяйнуло його вчора:

Чекало сто биків розправа скора, -

В віках луна їх рев жертовний звично.

З тих пір бики жахаються й тремтять,

Як істину нову являє прогрес,

Безсилі їй на перешкоді стать,

Й зливається їх рев в жалобний хор, -

Знов древній страх той в генах їх воскрес,

Що в них колись вселив ще Піфагор.

 

 

 Ввів інший поет вже цю тему

В свій вірш, - але як мені буть?

Прадавню одну теорему

Не можу я забуть.

Стояв там трикутник, як ментор,

Й один кут прямий в йому був,

І саме ось цим елементом

Він славу й визнання здобув.

Вродливиці гіпотенузі,

Що стрімко здіймалася ввись,

Два  катети, вірнії друзі,

В любові до смерті клялись.

Та їхні обійми їй тісні,

Тож пісню співає вона,

Й геометрам всім у цій пісні

Втіх більше, а ніж від вина.

Хто зовсім ще глузду не втратив,

Не може забути про це,

Що сума для а й в квадратів

Квадратові рівна для с!

Ця пісня й холодній медузі

Тепла і жаги додала.

Вже лиш за це гіпотенузі

Й двом катетам честь і хвала!

                                Г. Вебер

 

 

Частівка Гіпотенузи і Братів катетів

Ось – де я

Я, весела Гіпотенуза,

А ми, Брати-катети,

Заспіваємо частівки

Вам про математику.

Вирішили ми завзято

Геометрію вивчать,

Зараз скажемо відверто:

Не будем байдикувати.

Теорема Піфагора –

Всюди вона з нами:

Чи будинок ми будуєм.

Чи пливем морями.

Любі числа, теореми,

Формули чудові!

Ви професій гарних й різних

Друзі та основа.

Піфагоре – грецький вчений!

Ти довів нам теорему.

Тепер мусимо її

Ми доводити самі.

Теорема, теорема,

Ти звучич, немов поема.

Ну а я, Гіпотенуза,

Є для Катетів, як муза.

 

До побачення всім, до побачення,

Піфагору говорим: „Прощай!”

А знання знадобляться, звичайно

У житті, у житті, так і знай

Розлучаємся ми.

Та залишаться із нами

Теореми усі,

Що у школі вивчались нами.

До побачення, всім до побачення!

Прямокутний трикутник вивчай,

Бо знання не носить за плечима

У житті, у житті, так і знай.

 

 

                     Життя – театр, а всі ми в нім актори,

                     Ми знаємо багато різних див,

                     Та пам’ятати будем Піфагора,

                     Що теорему «золоту» створив.

                     Вивчай в житті ще й інші теореми,

                     Щоб звався ти ученим джентльменом,

                     То й з розумом не матимеш проблеми

                     І виростеш культурним бізнесменом.

                    Сьогодні все. Вам, друзі, на прощання

                     Рекомендовано домашнєє завдання,

                     Над геометрією хай ніхто не плаче,

                     А краще хай розв’язує задачі.

 

Підбиття підсумків проекту.

 

Хоча чужі знання можуть нас чогось навчити

Мудрим стаєш лише власною мудрістю.

М. Монтен

 

Працюючи над проектом, учні повинні були попрацювати над ключовим питанням: « Що може зробити одна людина для всього людства, якщо вона прагне досконалості?»

Спробуємо обговорити це питання.

Піфагор найбільш знаменитий учений на всю історію людства. Він був засновником першої наукової школи. Унікальною людиною, «володарем душ»,провідником власної «піфагорійської етики». Піфагор навчив людину вірити в силу розуму, в можливість пізнати світ, вселив у впевненість у тому, що ключем до пізнання світу є математика. Не знатність, не багатство, а ясний розум та чиста совість найбільше цінувалися в піфагорійській школі

Кожен із нас рано чи пізно, але замислюється над тим, який слід залишить на землі після себе. Для того, щоб залишити по собі світлу пам'ять, необхідно щодня прагнути досконалості, багато працювати над собою.

Пам’ятайте: надія на успіх живе в кожному із нас, але не кожна надія виправдовується, успіх гарантований лише тим, хто докладає до його здійснення власні зусилля.

 

Ось і закінчився наш проект.

Час невпинно й швидко так летить.

Ви до знань зробили новий крок.

Хай у всьому завжди вам щастить!

Дякую, що працювали гарно,

Часу ви не витрачали марно,

Свої сили і знання доклали.

І проект свій збодували.

 

Література:

Інтерактивні технології навчання.\\ Помету О., Пироженко Л. Сучасний урок: Інтерактивні технології навчання: наук. Метод. Посібник. –  К.: А. С. К., 2004. – с. 33-42.
Математика в школах України. - №33(156),2006.
Математика. Довідник\ Сост. Г. М. Якушєва; 1997. – 576с.
Літова З. Ділові ігри в школі\\ шкільні технології. -2000.
навчальних закладів. – К.: Вежа, 2001.
Інтернет.
Видатні вчені. Ілюстрована енцеклопедія для дітей. – Харків:ТОВ, 2010. – 80с.


Теги: піфагор, Соломчак О.П.
Навчальний предмет: Геометрія
Переглядів/завантажень: 225/24


Схожі навчальні матеріали:
Всього коментарів: 0
avatar