Головна » Геометрія

Многогранник і його елементи. Опуклі многогранники. Призма

Мета уроку: 1) узагальнити й систематизувати знання учнів про многогранники отримані в 9 кл.;

2) формування понять многогранник; опуклий многогранник, елементів многогранників;

3) ввести означення призми, елементів призми;

4) формування понять поверхня та бічна поверхня призми;

5) сформувати в учнів уміння знаходити елементи призми;

6) вивчення властивостей граней та бічних ребер призми;

7) формування понять переріз, діагональний переріз призми, а також умінь будувати перерізи призми;

8) розвивати просторові уявлення, пам'ять, увагу, уміння проводити аналогії й узагальнювати;

9) виховувати акуратність, працьовитість, наполегливість.

Обладнання: підручник, моделі многогранників, роздатковий матеріал, слайди, схема «Види призм».

Тип уроку: комбінований.

Основні поняття: многогранник, опуклий многогранник, призма, основа призми, бічні грані призми, висота призми, діагональ призми, поверхня призми, бічна поверхня призми, переріз опуклого многокутника, діагональний переріз призми.

Очікувані результати: учні повинні мати уявлення про многогранник, знати означення призми та її властивості, види призм; розпізнавати призму та її елементи; будувати зображення призми; обчислювати основні елементи призми; будувати перерізи призми (методом слідів; методом внутрішнього проектування).

 

Хід уроку

 

І. Організаційний етап.

         Повідомлення теми, мети уроку.

Епіграф уроку: «Уся глибина думки, закладена в формулювання

математичних понять, згодом розкривається тим умінням, із яким ці поняття використовуються.

                                                                           Е. Вінгер»

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Учитель відповідає на запитання, які виникли в учнів під час виконання домашнього завдання.
Учні, користуючись заздалегідь підготовленими на дошці рисунками до задач №1 і 2, відповідають на запитання до задач з домашнього завдання.
Обговорення розв’язування задачі №3 за записами, зробленими на дошці до початку уроку.

 

Задача №3. У тригранному куті один плоский кут дорівнює , а кожний прилеглий до нього двогранний кут дорівнює  ( ). Знайдіть два інші плоскі кути , який утворює площина кута  з протилежними ребрами.

 

         Варіант 1

Закінчіть речення. Двогранним кутом наз. фігура, утворена…
Назвіть елементи двогранного кута.
Чи може двогранний кут бути тупим?
Яким є розміщення граней двогранного кута і площини лінійного кута?
Який кут утворює ребро двогранного кута з будь-якою прямою, що лежить у площині його лінійного кута?
Площини двох рівнобедрених трикутників зі спільною основою утворюють двогран-ний кут. Чи можна стверджу-вати, що висоти проведені до спільної основи трикутників, утворюють лінійний кут двогранного кута?
Дано двогранний кут, який становить 40º. Знайдіть суміж-ний із ним двогранний кут.
Знайдіть кут між прямими перпендикулярними до граней двогранного кута, градусна міра якого 120º.
Точка  лежить на одній грані двогранного кута мірою 30º і віддалена від іншої грані на 10 см. Знайдіть відстань від точки  до ребра цього кута.

         Варіант 2

Закінчіть речення. Лінійний кут двогранного кута – це кут утворений перетином…
Що є мірою двогранного кута?
Чи може двогранний кут бути прямим?
Яким є взаємне розміщення площини лінійного кута деякого двогранного кута і ребра цього двогранного кута?
Чи залежить градусна міра лінійного кута від вибору його вершини на ребрі двогранного кута?
Площини двох рівнобедрених трикутників зі спільною основою утворюють двогран-ний кут. Чи можна стверджу-вати, що медіани, проведені до спільної основи трикутників, утворюють лінійний кут дво-гранного кута?
 Дано двогранний кут, який становить 50º. Знайдіть верти-кальний із ним кут.
Знайдіть кут між прямими    

     перпендикулярними до граней   

     двогранного кута, градусна мі- 

     ра якого 130º.

Точка  лежить на одній грані двогранного кута мірою 30º на відстані 10 см від ребра цього кута. Знайдіть відстань від точки В до іншої  грані.

 

Відповіді до диктанту

 

         Варіант 1

…двома півплощинами зі спільною прямою, що їх обмежує.
Грані, ребро.
Так.
Перпендикулярна.
Прямий.
Так.
140º
60º
20 см

         Варіант 2

…даного двогранного кута площиною, перпендикуляр-ною до його ребра.
Міра його лінійного кута.
Так.
Перпендикулярні.
Ні
Так.
50º
50º
5 см

 

 

ІІІ. Актуалізація опорних знань.

         Фронтальне опитування.

Із яких фігур складається поверхня многогранника?
Що називається гранями многогранника? Ребрами многогранника? Вершинами многогранника?
Серед запропонованих моделей визначте модель призми.
До якого виду геометричних тіл належить призма?
Як можна отримати розгортку призми?
Наведіть із повсякденного життя приклади многогранників.

 

IV. Мотивація навчальної діяльності.

         У навколишньому світі багато, що пов’язує нас із геометрією. Наприклад, кристали повареної солі, мають форму куба; ісландський шпат має форму похилого паралелепіпеда, цеглина, коробка, шафа і т.д.

         Існує безліч професій, представники яких не можуть обійтися без геометричних фігур, про які ми будемо говорити сьогодні. Столяри, маляри, екскаваторники – всі вони мають справу з многогранниками й циліндрами.

V. Повторення й аналіз фактів.

         Бесіда проходить за планом.

План

Яке тіло називається многогранником?
Який многогранник називається n-кутною призмою?
Користуючись рис. 2, назвіть вершини,        

          основи, бічні ребра й грані призми

     4. Сформулюйте властивості основ призми.

Сформулюйте властивості бічних ребер призми.
Яку призму називають прямою?
Із чого складається поверхня призми?

 

VI. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу.

         В цьому розділі уроку вчитель дає означення та вводить поняття, які не вивчалися раніше.

План

Які многогранники називаються опуклими, а які – неопуклими.
Який многогранник наз. призмою? Види призм.

Рис. 3

Що називається висотою призми?
Який відрізок наз. діагоналлю призми?
Яку призму називають прямою?

     6. Яку призму наз. правильною?

7. Діагональний переріз призми – переріз призми площиною, яка проходить через бічне ребро й діагональ основи.

8. Яка фігура являється діагона-льним перерізом прямої призми?

7.Формули для обчислення площі поверхні і об’єму призми.

 

Правила зображення призми ( зображення призми починають із зображення однієї з основ).

         Правила зображення многокутників:

зображення трикутника (рівностороннього, рівнобедреного, прямокутного) є довільний трикутник;
зображення паралелограма (прямокутника, ромба, квадрата) є довільний паралелограм;
зображення трапеції (рівнобічної, прямокутної) є трапеція, у якої відно-шення довжин основ дорівнює відношенню довжин основ зображуваної трапеції;
зображення довільного чотирикутника є довільний чотирикутник;
зображення правильного шестикутника є шестикутник, у якого три пари протилежних сторін попарно рівні.

Після побудови зображення основи зображують бічні ребра у вигляді паралельних і рівних відрізків, які з’єднують послідовно їх вільні кінці.

Методи побудови перерізів: метод слідів; метод внутрішнього проекту-вання.
В чому полягає суть методу слідів.

Відповідь: Полягає в:

побудові ліній перетину (сліду) січної площини з площиною грані;
знаходженні точок перетину січної площини з ребрами многогранника;
побудові перерізу.

В чому полягає суть методу внутрішнього проектування.

Відповідь: Полягає в:

проектуються дані точки на площину основи, в площині основи будується многокутник, у якого (n-1) вершини – проекції даних точок, а n-a вершина – одна із вершин основи;
у площині перерізу будується прообраз точки перетину діагоналей одержаного чотирикутника;
будуються точки перетину січної площини з ребрами.

Сформулювати теорему Ейлера про многогранники.
Правильні многогранники (слайди).

 

VII. Осмислення нового матеріалу.

         а) Робота в парах.

         Учні коментують відповіді та розв’язання з місця або шляхом вибіркової перевірки біля дошки.

 Скільки граней має n-кутна призма? Чи може призма мати 101 грань?

Відповідь: n+2; так.

Яке найменше число ребер може мати многогранник?

Відповідь: 6 (тетраедр).

Скільки ребер може сходитися у вершині многогранника?

Відповідь: Довільне число, але не менше трьох.

Назвати многогранник (побудувати), який має 5 граней і 5 вершин. Скільки ребер він має?

Відповідь: Піраміда, в основі чотирикутник.

Скільки ребер має n-кутна призма? Чи може призма мати 101 ребро?

Відповідь: 3n; ні.

Скільки вершин має n-кутна призма? Чи може призма мати 101 вершину?

Відповідь: 2n; ні.

Призма має 20 граней. Який многокутник лежить в її основі?

Відповідь: 18-кутник.

Скільки діагоналей можна провести в чотирикутній; п’ятикутній; n-кутній призмі?

Відповідь: 4; 10; (n-3)n діагоналей.

Чи є призма, яка не має діагоналей?

Відповідь: існує: трикутна призма.

Знайдіть суму всіх плоских кутів n-кутної призми?

Відповідь: 720º(n-1).

Знайдіть суму всіх двогранних кутів n-кутної призми.

        Відповідь: 360º(n-1).

Скільки діагональних перерізів можна провести в n-кутній призмі (n>3).

          Відповідь: n(n-3)/2

 

б) Колективне розв’язання задач під керівництвом вчителя.

Рис. 5

Задача 1. Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник ABC, в якому AB=BC=5 см, BD=4 см – висота. Знайдіть діагональ грані трикутника, якщо висота призми дорівнює 8 см.

 

Розв’язання.

 

ABCA1B1C1 –пряма призма, AA1=H; ABC – рівнобедрений; AB=BC, BD^AC, BD – висота, медіана, бісектриса, тоді AD=DC. ABD – прямокутний, ÐADB=90º, тоді за теоремою Піфагора:

Отже, AC=2AD=2*3=6 см.

Із A1AC – прямокутний, ÐA1AC=90º;

За теоремою Піфагора:

Відповідь: A1C=10 см.

 

         Задача 2. Основою прямої призми є ромб. Знайдіть сторони основи призми, якщо її діагоналі дорівнюють 8 см і 12 см, а висота – 4 см.

 

Розв’язання.

 

         ABCDA1B1C1D1 – пряма призма; ABCD – ромб; AC1=12 см; B1D=8 см; AA1=H=4 см; BB1D – прямокутний;  ÐB1BD=90º;

 

За теоремою Піфагора:    (см).

AC1C – прямокутний, ÐACC1=90º, тоді за т. Піфагора:

AC  

За наслідком з теореми косинусів маємо:

AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2.

Так як ABCD – ромб, тоді AC2+BD2=4AB2,

128+48=4AB2

AB2=176/4=44, AB=2  см.

Відповідь: AB=2  см.

 

Задача 3. Побудуйте переріз трикутної призми площиною, що проходить через точки K, M і N, які належать відповідно ребрам CB, A1B1, AC.

 

Розв’язання.

Рис. 7

NK – слід (MNK) на (ABC).
NK∩AB=Х;
XM – слід (MNK) на (ABB1);

              XM∩BB1=L;

XM∩AA1=Y;
YN – слід (MNK) на (ACC1);

               YN∩A1C1=F.

NKLMF – шуканий переріз.

 

Задача 4. Побудуйте переріз чотирикутної призми площиною, яка

проходить через точки M, N, P, які належать її бічним ребрам AA1, BB1, CC1.

Розв’язання.

 

       Спроектуємо точки M, N, P на площину нижньої основи:

M→A; N→B; P→C. У чотирикутнику ABCD: AC∩BD=O. Через точку O прове-демо OO1//BB1, OO1∩MP=Х.

         У площині (BB1D1) проведемо NX, NX∩DD1=QMNPQ – шуканий переріз.

 

VIII. Підсумок уроку.

         Фронтальне опитування.

Що називається многогранником? Опуклим многогранником?
 Що називається вершиною опуклого многогранника? Його ребром?        

                                                                     Гранню?

Рис. 8

Що називається призмою?

Яким є взаємне розміщення бічних ребер призми? Що можна сказати про їх довжину?
Сформулюйте властивості основ призми; граней призми.
Що називають висотою призми?
У якої призми висота збігається з ребром?

 

VII. Підведення підсумків уроку.

Запитання до класу:

Що називається многогранником? Опуклим многогранником?
 Що називається вершиною опуклого многогранника? Його ребром? Гранню?
Що називається призмою?
Яким є взаємне розміщення бічних ребер призми? Що можна сказати про їх довжину?
Сформулюйте властивості основ призми; граней призми.
Що називають висотою призми?
У якої призми висота збігається з ребром?

 

IX. Домашнє завдання.

Задача 1. (індивідуально) Основа прямої призми – прямокутний трикутник. Знайти висоту призми, якщо діагоналі її бічних граней дорівнюють 8 см, 14 см і 16 см.


Теги: Башинська Л.І., призма
Навчальний предмет: Геометрія
Переглядів/завантажень: 1604/66


Схожі навчальні матеріали:
Всього коментарів: 0
avatar