Головна » Алгебра

Застосування визначеного інтеграла

Мета: Узагальнити і систематизувати знання учнів з теми «Визначені інтеграли». Сприяти закріпленню знань про геометричний та фізичний зміст інтеграла. Навчити застосовувати математичні закони інтегрування в різних задачах.

Посилити мотивацію учнів до вивчення теми, познайомивши з історією створення  розділу  математичного аналізу.

          Розвивати творчі здібності, сприяти підвищенню інтересу до математики. Продемонструвати прикладну направленість теми.

         Виховувати комунікативні та інформаційні риси у учнів, активність та спостережливість, вміння узагальнювати.

Обладнання: інтерактивна дошка, учбова презентація.

Тип уроку: узагальнення і систематизація знань

Хід уроку:

Актуалізація знань

Розминка: «Несправний диктофон». Учитель пропонує закінчити речення, 

щоб сформульовані твердження були вірними:                                

«Криволінійною трапецією називається…»

«Дія, обернена до диференціювання …»

«Первісні для однієї і тієї ж функції відрізняються тільки…»

«Визначений інтеграл відрізняється від невизначеного тим, що…»

«Функція записана  під знаком інтеграла, закінчується  знаками…»

«Геометричним змістом визначеного інтеграла є…»

«Фізичним змістом визначеного інтеграла є…»

«Знак dx означає…»

    Показ учбової презентації починається зображеннями портретів  Ісаака Ньютона і Вільгельма Лейбніца. Доцільно повідомити коротку інформацію про створення важливого розділу математики, і з чого все починалось…

Основна частина уроку.

Щоб узагальнити і систематизувати знання учнів з теми важливо організувати різноманітність форм роботи учнів на уроці. Ці форми повинні невимушено поєднуватись з виконанням математичних завдань, доведеннями проголошених тверджень та засвоєнням нових вмінь. Даний урок  методично зібраний із часто вживаних типових вправ і організаційно має триподільну структуру. Конструктор уроку: форми роботи активізації учнів - ФРАУ №1, ФРАУ №2, ФРАУ №3.

ФРАУ №1

«Застосування міжпредметних зв`язків  з теорією

фізики, геометрії та алгебри при розв`язуванні завдань.»

Фізичний зміст визначеного інтеграла.               

 Шлях, який долає  фізичне матеріальне тіло за певний проміжок часу

Нехай швидкість руху тіла задана рівнянням:

  v(t)= 3t2 - 2t +1 (в метрах за секунду).

Знайдемо шлях руху тіла, який відбувся за 10 секунд від початку руху.

За умовою задачі позначимо, що дано: t0= 0 секунд, t1=10 секунд.

v (t) = 3t2 -2t +1.

Застосуємо формулу, що виражає фізичний зміст визначеного інтеграла.

Знайдемо шлях, як функцію від х.

S(х)=

                Отже,  S(х)=

Обчислимо, враховуючи дане рівняння швидкості.

S=

Відповідь: тіло за десять секунд подолало 910 м.

Геометричний зміст визначеного інтеграла  

      Зміст теоретичної підготовки  по інтегруванню допомагає визначитись з фігурами, які є криволінійними трапеціями і які не є криволінійними трапеціями. Використовуючи оператори Power Point для створення презентацій виходить дуже вдало показати розбиття фігур на частини, де одна з них є криволінійною трапецією. Важлива властивість адитивності площ використовується і при  демонстрації поділу фігури на частини, що важливо при виконанні вправ                                                  

 Застосування визначених інтегралів для знаходження площ фігур.

Площа фігури, обмеженої графіком  неперервної  функції f (х)  та прямими х = а і х = b, де f (х )- неперервна на відрізку [a; b], знаходиться за формулою Ньютона - Лейбніца

Обчислення площі – це найпростіше застосування інтеграла, оскільки за означенням інтеграл тісно пов`язаний з площею фігур.

 

Нехай функція f (x) неперервна на [a; b] і приймає на цьому відрізку як додатні так і від`ємні значення.

Тоді потрібно розбити відрізок [a; b] на  частини в кожній з яких функція не змінює свій знак, потім обчислити площі цих частин і додати.

 

Оскільки функція на відрізку  приймає від`ємні значення, то . Тому

ФРАУ №2

«Використання умінь та навичок у роботі з тестами.»

 Демонстрацією слайду учбової презентації допомагає побачити варіанти відповідей, опитати учнів, які мають різні варіанти відповідей і переконати їх.

[интеграл]

Знаходження площ фігур, які не є криволінійними трапеціями за означенням.

Площа фігури, обмеженої графіками двох неперервних функцій f1 (х) і  f2 (х) та прямими х = а і х = b, де f1 (х),  f2 (х)- неперервні на відрізку [a; b] знаходиться за формулою                                                                    

 

Нехай пряма у=с розбиває криволінійну трапецію площі S на частини: прямокутник і фігуру F. Знайдемо площу фігури F, яка не є криволінійною трапецією. Площа фігури F буде доповнена площею прямокутника до площі S.

Нехай криволінійна трапеція розділена прямою х = с. ЇЇ площа буде дорівнювати сумі площ двох криволінійних трапецій

                                                                

Застосування інтегралів для визначення об`ємів фігур.

Якщо розглянути будь-яку фігуру обертання, то можна також застосувати розбиття цієї фігури на частини перерізами, що перпендикулярні осі обертання. Ці перерізи мають форму кругів змінного радіуса

 

Позначимо довжину радіуса f(х).  Тоді площею перерізу буде добуток π (f(x))2

Об`ємом буде інтегральна сума площ перерізів.  -  відрізок, який визначає висоту фігури та межі інтегрування.

ФРАУ №3

« Використання алгоритму»

                                     Алгоритм

виведення формули для обчислення об`єму фігури обертання:

1)Вибір осі:  вісь обертання – вісь х.

2) Визначення  функції площі змінного перерізу:  S(x)

Перерізом є круг радіуса f(x). Отже:

3) Встановлення меж інтегрування:

4) Обчислення інтеграла

Oб`єм кулі.

Застосуємо виведену формулу до кулі, центр якої  розміщено в початку системи координат. Оскільки рівняння кола   х2+у2=R2, то півколо, яке розташоване над віссю х має рівняння    f(x)=

-R ≤ x ≤ R. Тому об`єм  кулі знаходимо за формулою:

 

Формула об`єму кулі             

 

Визначимо формулу об`єму конуса, використовуючи наступні кроки алгоритму  ( по слайду презентації)

Алгоритм.

Вісь конуса виберемо на осі  х.
Нехай площина перерізу перпендикулярна до осі, паралельна основі. За співвідношенням площ та лінійних розмірів фігур маємо:

де Н- висота конуса, S- площа основи, S(x)- площа перерізу

 Знайдемо об`єм конуса за допомогою визначеного інтеграла:


Теги: інтеграл, Шевчук А.В.
Навчальний предмет: Алгебра
Переглядів/завантажень: 220/23


Схожі навчальні матеріали:
Всього коментарів: 0
avatar