Головна » Алгебра

Застосування похідної до розв’язування прикладних задач. Урок з математики для 11 класу

МЕТА:

перевірити знання учнями формул для знаходження похідної та вміння застосовувати метод диференціального числення до розв’язування прикладних задач, вміння виділяти етапи в розв’язуванні прикладних задач; розвивати творче і логічне мислення, усне та писемне мовлення; виховувати в учнів бажання мати глибокі й міцні знання, працьовитість та уважність; розвивати інтерес до математики.

ОБЛАДНАННЯ:

комп’ютер, мультимедійна дошка, портрети математиків.

 

ПРИМІТКА:  

учні готуються до уроку заздалегідь: за 6-ть днів, підбирають задачі, готують презентації з даної теми, шукають історичний матеріал. Перед уроком клас поділяється на 7 –м  групи по три учня в кожній, прес - центр три учня, секретар  Наукової ради та лаборант. Коли починається урок, учні розсаджуються за столи на яких знаходяться таблички з назвами кафедр:історії, біології, хімії, медицини, математики та фізики, архітектури та будівництва, філології. На уроці присутні також вчителі ліцею та вчителі інших шкіл.

 

ЕПІГРАФ УРОКУ:

«Математика – наука молодих. Інакше і не може бути. Заняття математикою це – така гімнастика розуму, для якої потрібна вся гнучкість і вся витривалість молодості».

                                                                   Н. ВІНЕР

 

ХІД УРОКУ

 

1 етап уроку  Організаційний момент

2 етап уроку  Вступне слово вчителя.

 

Добрий  день діти, вітаю всіх присутніх!

Сьогодні у нас незвичайне заняття. Науково технічний прогрес так швидко крокує в 21 сторіччі, що навіть у нашому ліцеї ми зможемо здійснити подорож  у часі. Позаду ДПА,ЗНО, навчання у вищих учбових закладах, як швидко минає час, і ви вже молоді наукові співробітники.

У нас сьогодні  відкрите засідання  наукової ради, тема якого «Застосування похідної до розв’язування  прикладних задач.» Ми розглянемо  як можна застосовувати  знаходження найбільшого і найменшого значення функції в різних галузях науки.

                        На цьому засіданні присутні представники кафедр: історії, біології, хімії, математики та фізики, будівництва та архітектури, медицини та  філології; представники преси, спостерігачі та фахові консультанти.

 

Секретар:  Розпочинаємо роботу наукової ради. Слово надається представникам кафедри історії.

( Слайд кафедри)

 

Перший представник кафедри розповідає легенду « Задача цариці Дідони»

Цікавою є легенда про відшукання найбільшого значення функції, за  якою засновниця м. Карфагена Дідона, дочка царя тірів, посварившись з братом Пігмаліоном, втекла від свого батька і після багатьох пригод з’явилася  на південному узбережжі Середземного моря. Тут, у царя Нарбаса, за невеликі гроші вона купила шматок землі «не більше, ніж можна обміряти шкурою бика» - як зазначалося в угоді. Місцеві жителі вважали умову буквальною і розраховували, що Дідоні для нового поселення дістанеться дуже маленький клаптик узбережжя. Проте спритна Дідона розрізала шкуру бика на найтонші смужки, зв’язала їх мотузкою і, закріпивши один її кінець на березі моря, пішла з іншим вздовж берега. Перед нею  постало питання: яку форму потрібно надати мотузці, щоб «обміряти шкурою бика» найбільшу площу? Зокрема, це є задача на пошук замкненої кривої даної довжини, що обмежує найбільшу площу. Виявляється, що такою кривою є коло. Дідоні, щоб розв’язати задачу, потрібно було обійти півколо з центром у точці О, довжина якого дорівнювала довжині мотузки. Дякую за увагу.

 

Питання преси: Читачі  журналу «Знання-сила» цікавляться, звідки пішло диференціальне числення, де його джерела та хто намагався розв’язати перші задачі?

 

Представник кафедри історії доповнює ( слайди презентації «Творці математичного аналізу»)

 

До відкриття похідної незалежно один від одного прийшли два відомих вчених Ісаак Ньютон та Го́тфрид Ви́льгельм Лейбніц наприкінці 17 століття, (слайд фото вчених). Ньютон, означаючи похідну, виходив із задач механіки; Лейбніц - із геометричних задач. Але відкриттю похідної і основ диференціального числення передували роботи таких великих вчених як П’єра  Ферма та Рене Декарта. Хоча сам термін «похідної» і позначення f `(x) ввів Жозеф Лагранж. Велику роль у  розвитку диференціального числення  відіграв Леонард Ейлер.

За допомогою диференціального числення було розв’язано цілий ряд задач теоретичної механіки, фізики та астрономії. Зокрема, вчені передбачили повернення комети  Галлея, що стало тріумфом  науки 18 століття.

 

Секретар: Дякуємо  представників кафедри історії та надаємо слово представникові кафедри біології.(слайд КАФЕДРА БІОЛОГІЇ, умова задачі)

 

У живильне середовище вносять популяцію з 1000 бактерій. Чисельність популяції зростає за законом р(t)= 1000 + ( 1000t )/( 100 + t2); t- виражається в годинах. Знайти максимальний розмір цієї популяції.

 

( Представник кафедри розв’язує на дошці задачу, всі записують  розв’язок      в зошитах, в процесі розв’язування учні мають право задавати питання)

 

Секретар:: А чим нас здивує кафедра хімії?

( слайд КАФЕДРА ХІМІЇ та умова задачі):

Газова суміш складається з окису азоту і кисню. Потрібно знайти концентрацію кисню, при якій окис азоту в суміші окислюється з найбільшою швидкістю? (Відповідь округлити до сотих)

В практичних умовах швидкість реакції 2NO+O2=2NO2 виражається формулою: V=kx2у, де х – концентрація  NO в будь – який час, у – концентрація O2, k - константа швидкості реакції, яка залежить тільки від температури (задача розв’язується на дошці).

 

Секретар: Звісно, не змогли залишитися байдужими молоді математики та фізики ( слайд КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ ТА ФІЗИКИ)

 

Представник кафедри: На нашу кафедру надійшло замовлення підприємця:

 

Зробити розрахунки на виготовлення консервної банки циліндричної форми об'ємом 1000 см3, щоб витрати жесті на її виготовлення були мінімальні. Виходячи з цього завдання, ми склали задачу і вирішили її

( розв’язує задачу)

 

Далі виходить фізик:

Дощова крапля падає під дією сили тяжіння, рівномірно випаровуючись так, що її маса змінюється за законом  m=1- 2/3t (m-в грамах, t-в секундах).Через скільки секунд після початку падіння кінематична енергія краплі буде найбільшою? (задача розв’язується на дошці).

 

Секретар: Виявили бажання й медичні світила нагадати про взаємозв’язок теоретичних пошуків з реальним життям (слайд КАФЕДРА МЕДИЦИНИ)

 

Концентрація ліків у крові хворого через деякий час після ін’єкції задається формулою С(t)=16 t/(10 t-20t)2. Знайти максимальну концентрацію і час, коли вона досягається. (задача розв’язується на дошці).

 

Секретар: Хто б міг  подумати, що пошук найбільшого та найменшого значення функції зможе вирішити й будівельні негаразди та допоможе облаштувати місце відпочинку. Просимо представників кафедри будівництва та архітектури розвіяти наші сумніви.

 

(слайд КАФЕДРА БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ)

 

1.Селища А та В розташовані на відстані 2 км та 5 км від берега моря відповідно, КМ= 10км.У якій точці С берега потрібно облаштувати пляж, щоб сума відстаней від цієї точки до двох селищ була найменшою?

 

2. До нас звернувся мешканець нашого міста, у якого вистачає грошей тільки на закладку цоколю, довжиною 60м, але з однією перегородкою. При цьому він бажає, щоб площа будинку була найбільшою. За цими вимогами ми склали задачу і розв’язали її, наш замовник залишився задоволеним (задача розв’язується на дошці).

 

Секретар: Слово надається гуманітаріям. Які як завжди приготували щось незвичне, (слайд КАФЕДРА ФІЛОЛОГІЇ)

 

Первая  женщина математик С. В. Ковалевская сказала:

«Математик  должен быть поэтом в душе». И, следуя ее словам, мы на нашем уроке откроем литературную страничку «Графики функций – пословицы». Подберите к графикам функций, изображенных на слайдах, пословицы, которые раскрывают суть процессов функции:

(учні називають прислів’я до графіків функцій).

 

Приклади відповідей:

Хто дбає, той і має.           

Как аукнется, так и отклткнется.

          З ким поведешся, того і наберешся.  

          Як постелиш, так і виспишся.

          Яке коріння, таке й насіння.    

          За що купив, за те й продав.

          Що на умі, то й на язиці.

 

Любишь кататься, люби и саночки возить.

Щоб піднятися, треба впасти.

          Без лиха, не бува добра.

 

Повторенье, мать ученья.

З вогню, та в полум’я.

          Хоч в лоб, хоч по лобові.

          Наша песня хороша, начинай с начала.

 

Представники преси: ( підходять до кафедр і запитують)

 

 Ми б хотіли запитати науковців, які висновки вони зробили з сьогоднішнього засідання?

Представники кафедр відповідають:

 

  1) Кафедри довели необхідність вивчення даної теми в навчальних закладах.

2) Переконливо показали застосування похідної при розв’язуванні прикладних задач в різних галузях науки.

 

3) Аргументовано переконали присутніх в актуальності математичних знань.

 

Питання вчителю: А як ви оцінили роботу кафедр?

 

( вчитель оцінює роботу кожної кафедри в залежності від того: як вони розв’язували задачі, які  помилки  були допущені, як відповідали представники на запитання учнів, чи було витримано структуру поетапного розв’язування задач)

 

Секретар: Засідання нашої наукової ради закінчено. Пропоную проект рішення:

1. Можна вважати, що дії щодо моделювання процесів дійсності повністю сформовано в учнів, бо вони можуть за умови повної самостійності:

а) перевести задачу на мову математики;

б) сконструювати математичну задачу;

в) виділити провідну математичну ідею;

г) критично осмислити отриманий результат.

2.Навчальну дію оцінки можна вважати сформованою на цьому етапі, бо учні:

     а) моделюють процеси дійсності;

      б) знаходять і виправляють помилки при розв’язуванні задач.

 

Підсумок  уроку

Вчитель підбиває підсумок щодо моделювання процесів сучасності. Перш ніж будь – яке явище природи або процес економічного, сільськогосподарського характеру піддавати математичному вивченню, його необхідно спростити. Особливістю розглянутих вище задач є те, що вони мають одну й ту саму математичну модель.

 

Урок закінчено. Бажаю всім успіху. Спасибі за урок!

 

                                   Використана література:

Нелін Є.П., Долгова О.Є.Алгебра 11 кл.. Харків. Гімназія.2011
Мерзляк А.Г.  Алгебра і початки аналізу 11 клас. Харків.Гімназія.2010
Виленкин И.Я., Мордкович А.Г. Производная и интеграл. М. Просвещение. 1976
Беляева Е.С. Монахов В.М. Экстремальные задачи.
Рижов Ю.М. Похідна та її застосування. К. Вища школа. 1977
Парно И.К. Производная и её применение к исследованию функций. Москва. Просвещение 1968
Гальперіна А.Р. Алгебра і початки аналізу 11кл. Збірник завдань для контролю знань.Х. Ранок.2012


Теги: похідна, Перунова Т.П.
Навчальний предмет: Алгебра
Переглядів/завантажень: 615/39


Схожі навчальні матеріали:
Всього коментарів: 0
avatar