Розв’язування вправ з використанням формул скороченого множення. Урок з алгебри для 7 класу - Алгебра - Авторські уроки та презентації - Розробки навчальних матеріалів
Головна » Алгебра

Розв’язування вправ з використанням формул скороченого множення. Урок з алгебри для 7 класу

Мета уроку. – навчальна

формувати, удосконалити та поглибити знання та вміння учнів використовувати формули скороченого множення:  при розв’язуванні вправ, формувати навички їх творчого застосування при розв’язуванні завдань високого рівня складності;

розвивальна

розвивати логічне мислення, математичну мову, вміння чітко висловлювати думки, узагальнювати, активність;

виховна

інтерес до математики.

Тип уроку: урок-подорож (застосування знань умінь навичок).

Обладнання: роздатковий матеріал, картки з відповідями, картки самоконтролю, рисунки.

Форми роботи: колективна, індивідуальна.

План уроку

1. Організаційна частина.

Повідомлення теми і мети уроку.

2. Перевірка домашнього завдання.

Актуалізація опорних знань.

3. Історична довідка.

4. Розв’язування вправ на застосування формул скороченого множення:

для виконання обчислень (швидкої лічби);
для піднесення довільного многочлена до квадрата;

при розв’язуванні цікавих задач на доведення та задач підвищеної складності. 

5. Підсумок уроку.

6. Домашнє завдання.

Хід уроку

І. Організаційна частина

 Повідомлення теми і мети уроку

Час: 2 хв

Зовсім недавно ви відкрили для себе нову країну – Алгебру. І уже від початку навчального року подорожуєте містами цієї країни. Нещодавно ми дісталися ще одного міста – ФСМ, що означає Формули скороченого множення.

Сьогодні ми пройдемося вулицями цього міста, щоб дізнатися що тут є цікавого і незвичайного.

Працювати ми будемо над темою «Розв’язування вправ з використанням формул скороченого множення».

            У кожного з вас на парті лежать картки самооцінювання. (додаток1) Сьогодні ми будемо працювати на довірі. Оцінювати себе ви будете самі. А ще ви розкажете про свій емоційний настрій на початку та в кінці уроку за допомогою спеціальних смайликів:

J - гарний настрій;   K - середній настрій;   L - поганий настрій

 

ІІ. Перевірка домашнього завдання

Актуалізація опорних знань

 

Щоб зайти в місто ми повинні показати свої перепустки, які ми отримали на попередніх уроках.

 

 Гра «Дивись, не помились!».

Мета завдання: формувати навички розв’язування вправ на застосовування формул скороченого множення, вміння чітко висловлювати думки, розвивати, логічне мислення, математичне мовлення.

Форма роботи: фронтальна.

Оцінювання: 4 бали.

Час: 5 хв

 

На дошці записані завдання. Потрібно відновити записи – вставити пропущені символи. Учні відповідають за бажанням.

 

Завдання. Відновіть записи:

 

Отже, сьогодні ми будемо працювати над завданнями із використанням формул скороченого множення:

 

 - квадрат суми двох виразів;

 - квадрат різниці двох виразів;

 - множення різниці двох виразів на їх суму.

 

ІІІ. Історична довідка

Мета завдання: розвивати логічне мислення, інтерес до математики.

Форма роботи: фронтальна.

Час: 5 хв

Ось ми уже в місті ФСМ. І одразу ж потрапили на станцію «Історичну»

 - Розгляньте уважно рисунок. Як ви вважаєте, чи існує зв’язок площі квадрата із формулою квадрата суми двох виразів?

                                                           b              a

Давньогрецький учений Евклід (3 ст. до н. е.), який створив посібник з математики «Начала», першим геометрично вивів формулу квадрата двочлена (буквенна символіка була введена пізніше у XVI-XVII ст.)

         Евклід довів таку теорему: Якщо дану пряму АВ поділити у будь-якій точці на два відрізки, то квадрат, побудований на цілій лінії, дорівнює двом квадратам і двом прямокутникам, що побудовані на цих відрізках.

Доведення теореми:

Дану пряму АВ поділимо на два відрізки довжиною a та b.
Побудуємо квадрат на цілій лінії.
Розіб’ємо даний квадрат так, щоб утворилося два квадрати довжини сторін яких a та b відповідно та два прямокутники із сторонами a та b.
Знайдемо площу великого квадрата, сторона якого дорівнює (a+ b): .
Знайдемо площі утворених фігур:

 - площа квадрата із стороною а;

 - площа квадрата із стороною b;

 та  - площі прямокутників;

 Оскільки площа великого квадрата дорівнює сумі площ фігур, на які він розбивається, то маємо: .
Отже, .

 

Фізкультхвилинка

Підняли голову та руки догори, вдихнули;
Опустили руки й голову, видихнули;
Витягнули руки перед собою, порухали пальчиками, опустили руки;
І хто ще втомився? (знизати плечима);
Ні це не ми. (покрутили головою).

 

IV. Розв’язування вправ на застосування формул скороченого множення

 

Мета завдання: формувати навички учнів застосовувати формули скороченого множення у нестандартних ситуаціях, вчити знаходити раціональні способи розв’язування вправ, розвивати навички спілкування, вміння висловлюватися, переконувати і робити висновки.

Форма роботи: фронтальна.

Оцінювання: 1 бал за ідею.

Час: 20 хв

 

Вчитель пропонує завдання. Учні висловлюють ідеї щодо розв’язання. Після пояснення вчителя учні виконують відповідне завдання самостійно.(додаток2)

Продовжуємо свою подорож. І ось вулиця «Рахувати-Хитрувати». Давайте завітаємо сюди.

Застосування формул скороченого множення для виконання обчислень (швидкої лічби).

 

Знайти легкий шлях обчислення, застосовуючи формули скороченого множення:

а) ;

Розв’язання:

.

Показати учням кілька прикладів знаходження квадратів двоцифрових чисел, що закінчуються цифрою 5.

Наприклад, 25²=625; 35²=1225; 75²=5625 і. т. д.

 

2. Як піднести до квадрата будь-яке двоцифрове число, яке закінчується цифрою 5?

Розв’язання:

 - запис двоцифрового числа, яке закінчується цифрою 5.

Піднесемо його до квадрата: . Добуток  дасть число, яке закінчується двома нулями.

 

Властивість. Щоб піднести до квадрата двоцифрове число, яке закінчується цифрою 5, запишемо його у вигляді , достатньо знайти суму  і справа дописати число 25.

 

3. Обчислити: 57·53.

Розв’язання:

Показати учням кілька прикладів  знаходження добутку двоцифрових чисел,число десятків у яких однакове, а сума одиниць дорівнює 10.

Наприклад, 68·62=4216; 34·36=1224.

Властивість. Щоб знайти добуток двоцифрових чисел , де m+k=10 достатньо записати результат добутку n·(n+1) і справа дописати результат добутку m·k.

Застосування формул скороченого множення для піднесення довільного многочлена до квадрата.

 

Наша подорож триває. Ми дістались вулиці «Дослідників». Давайте заглянемо, що тут відбувається.

4. Подайте вираз (a+b+c)² у вигляді многочлена і зробіть висновок.

Розв’язання:

Ми вивели формулу квадрата тричлена .

Порівняйте формулу квадрата двочлена і квадрата тричлена.
Чи існує  закономірність між ними?
Чи можна аналогічно вивести формулу квадрата многочлена, де будуть чотири доданки?
Скільки подвоєних добутків вона буде містити?
Можна міркувати так,кожен доданок можна помножити на 3 інші, тобто буде 3 добутки, але доданків 4, тому всіх добутків буде 4·3=12, а подвоєних 6.)
А чому буде дорівнювати квадрат многочлена, який містить 10 доданків?
Сумі квадратів десятьох доданків плюс (10·9)=45 подвоєних добутків)

 

Застосування формул скороченого множення розв’язуванні цікавих задач на доведення та задач підвищеної складності.

 

5. Ціле число при діленні на 7 дає остачу 5. Яку остачу при діленні на 7 буде давати квадрат цього числа?

Розв’язання:

 - загальний вигляд числа, яке при діленні на 7 дає остачу 5;

.

Отже, при діленні на 7 квадрат цього числа буде давати остачу 4.

 

6. Нехай q та r – відповідно дільник та остача від ділення  цілого числа а на п, тобто . Яку остачу дасть квадрат числа а при діленні на п?

Розв’язання:

 - число а.

 - квадрат числа а.

Отже, щоб знайти  остачу від ділення  квадрата числа а на п, достатньо знайти остачу від ділення  на n.

 

7. Учитель записав на дошці 5 різних натуральних чисел. Чи обов’язково серед них знайдуться такі два числа, різниця квадратів яких ділиться на 7?

Розв’язання:

r:  0,  1,  2,   3,  4,   5,    6 – остачі від ділення натуральних чисел на 7;

r²: 0,  1,  4,  9,  16,  25,  36 – квадрати остач;

: 0,  1,  4,  2,   2,    4,    1 – остачі від ділення квадратів чисел на 7.

Оскільки різних остач 4, то серед записаних п’яти чисел обов’язково знайдуться два такі, що дають однакову остачу. А тому їх різниця поділиться на 7.

 

Завдання для самостійного виконання

Мета завдання: формувати вміння застосовувати формули скороченого множення при виконанні вправ; розвивати вміння звертатися за допомогою; здійснювати індивідуальний та диференціальний підхід.

Форма роботи: індивідуальна робота.

Оцінювання: 4 бали

Час: 10 хв

 

Можна звернутися за допомогою-підказкою до учителя (додаток3). За підказку платять бали.

Відповіді знаходяться на зворотному боці карток, де записані завдання. В кінці уроку учні звіряють відповіді. При правильному виконанні мають отримати ключ до розв’язання – вислів М. Горького: «Немає сили могутнішої за знання; людина, озброєна знаннями, - непереможна». Першу частину вислову отримає варіант1, а другу – варіант 2.

 

 

Варіант 1

Варіант 2

Обчислити:

42·48

Подайте у вигляді многочлена стандартного вигляду:

(2х-у+3z)²

 Які остачі можуть давати квадрати цілих чисел при діленні на 4?

 

Обчислити:

65²

Подайте у вигляді многочлена стандартного вигляду:

(2m+3-n)²

Які остачі дають квадрати цілих чисел при діленні на 5?

 

Відповіді до завдань:

Варіант 1

1. 42·48=2016.

2. 3.

0, 1, 2, 3 – остачі від ділення цілого числа на 3.

0, 1, 4, 9 – квадрати остач.

0, 1, 1, 0 – остачі від ділення квадратів цілих чисел на 3.

Ключ до розв’язання:

2016 (немає сили);  (могутнішої); 0, 1 (за знання).

Варіант 2

1. 65²=4225

2. 3.

0, 1, 2, 3, 4 – остачі від ділення цілого числа на 5.

0, 1, 4, 9, 16  – квадрати остач.

0, 1, 4, 4,  1   – остачі від ділення квадратів цілих чисел на 5.

Ключ до розв’язання:

4225 (людина озброєна);  (знаннями); 0, 1, 4 (непереможна).

VІ. Підсумки уроку

Мета завдання: формувати вміння робити висновки та самооцінювання.

Форма роботи: індивідуальна, колективна.

Час: 2 хв

 

Учні оцінюють свої знання.
Повертають картки із завданнями на зворотній бік, де знаходять ключ до розв’язання самостійних завдань.
Зачитують отриманий вислів – спочатку варіант 1, потім варіант 2.
Ставлять собі оцінку за урок і відтворюють свій емоційний настрій на картках самооцінювання.
Вчитель дякує за урок.

Правильно виконані завдання дають вислів М. Горького: «Немає сили могутнішої за знання; людина, озброєна знаннями, - непереможна».

Я надіюся, що вам сподобалася подорож містом ФСМ і ви відкрили для себе щось нове; ви переконалися, що знання формул є досить важливим, оскільки набагато скорочує нашу роботу, а також допомагає при розв’язуванні нестандартних завдань і навіть завдань олімпіадного типу. І цим самим наші сили після цього уроку зміцніли. Тож, я бажаю вам набиратися сил з великою швидкістю, щоб у майбутньому стати непереможними!

 

VІІ. Домашнє завдання

Мета завдання: формувати вміння застосовувати формули скороченого множення при виконанні вправ; аналізувати свої, знання, вміння та навички.

Форма роботи: індивідуальна робота

Час: 1 хв

 

1. Обчисліть:

а) 92·98;   б) 45²;   в) 52² - 48²;   г) 37² + 2·3·37 + 3².

2. Подайте у вигляді многочлена стандартного вигляду:

(х-у-z)²

3* З’ясуйте геометричний зміст формули квадрата тричлена для додатних значень а, b, с.

4* Ціле число m не ділиться на 5. Доведіть, що число  ділиться на 5.


Теги: Білусяк Л.В., скорочене множення
Навчальний предмет: Алгебра
Переглядів/завантажень: 668/44


Схожі навчальні матеріали:
Всього коментарів: 0
avatar