Головна » Алгебра

Означення арифметичної та геометричної прогресій та їх властивості

Освітня мета: Сформувати поняття арифметичної та геометричної прогресій; домогтися засвоєння їх властивостей; сформувати вміння застосовувати поняття та властивості прогресій до розв’язування задач.

Розвивальна мета: Розвивати увагу, бажання пізнавати нове, розвивати мислення і мову учнів;  вміння аналізувати, узагальнювати.

Виховна мета: Виховувати почуття відповідальності, вміння працювати в групах.

Епіграф: У математиків існує своя мова – це формули.

С.В. Ковалевська

Девіз: Дорогу подолає той, хто йде, а математику той, хто мислить.

Обладнання: Мультимедійний проектор.

Тип уроку: Урок засвоєння нових знань.

 

На дошці написано:

          І команда                                               ІІ команда

Нижче ведеться запис отримання балів.

правила гри

 Клас розбивається на дві команди:

І команда – учні першого ряду і половини другого ряду;

ІІ команда – учні третього ряду і половини другого ряду.

Вибираються капітани команд
Капітани команд обирають консультантів. Вони повинні допомагати учням з другої команди відповідати на запитання, запропоновані вчителем протягом уроку. Їх праця дає додаткові бали своїй команді. Недобра консультація або відмова наказується балами на користь команди суперника.
Після слів «Консультація закінчена» учні займають свої місця. В протилежному випадку з команди знімаються бали.
До дошки в будь-яких видах роботи учні визиваються капітанами команд.

 

Хід уроку.

І. Організаційний момент.

Я бажаю Вам розпочати урок з добрим настроєм і отримати від нього задоволення і гарні результати! Сьогодні ми працюватимемо разом, я розраховую на Вашу старанну працю, та змістові відповіді.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Учні-сусіди обмінюються зошитами. Учитель диктує правильні відповіді. Учні звіряють їх з відповідями у зошитах і за необхідності роблять виправлення.

ІІІ. Актуалізація опорних знань.

І етап – консультація. Актуалізуються знання учнів за питаннями:

Означення послідовності;
Зростаючи і спадні послідовності;
Способи завдання числових послідовностей;
Рекурентний спосіб завдання послідовності;
Середнє арифметичне і середнє геометричне.

На консультацію дається 10 хв. Консультують учнів представники інших команд. Дозволяється взаімоконсультації. При потребі консультує вчитель. За консультації команди отримують бали.

ІІ етап – учбово-пізнавальна робота учнів за самостійним сприйманням нових знань.

ІV. Сприймання і засвоєння навчального матеріалу.

Учитель – пропонує поділити сторінку зошита навпіл і ліворуч написати «Арифметична прогресія», а праворуч «Геометрична прогресія».

На екран (зліва) проектується задача, яка приводить до арифметичної, а праворуч – до геометричної прогресії. До них проектується питання і завдання, які потрібно виконати.

    

Задача 1. Вертикальні стержні ферми мають таку довжину: найменший а1 = 5 дм, а кожний наступний на 2 дм довший. Записати довжину семи стержнів.

Задача 2. В сприятливих умовах деякі бактерії розмножуються так, що кількість їх зростає кожну хвилину вдвічі, тобто одна ділиться на дві. Записати колонію бактерій народжену за 7 хвилин.

 

Записати послідовність відповідно з умовою задачі.
Записати цю послідовність за допомогою таблиці.
Знайти різницю d між попереднім і наступним членами в першій задачі і частку q від ділення наступного члена на попередній у другій задачі.
Задати ці послідовності рекурентним способом.
Дати означення арифметичної (геометричної) прогресії.
Знайти середнє арифметичне (геометричне) чисел 2 і 8.

Записати знайдене число з даними у порядку зростання. Чи утворюють ці числа арифметичну (геометричну) прогресію?

Чи справедлива така залежність для трьох послідовних членів послідовностей у кожній задачі?
Довести, що для членів арифметичної прогресії справедлива закономірність , а для членів геометричної прогресії – закономірність
Як пов’язані між собою будь-який член арифметичної (геометричної) прогресії, крім першого? (Властивість 1).
 Знайдіть суму (добуток) крайніх членів прогресії і суму (добуток) рівновіддалених від крайніх.
 Як пов’язана сума (добуток) будь-яких двох членів рівновіддалених від крайніх членів арифметичної (геометричної) прогресії? (Властивість 2).

 Як геометрично такий зв’язок можна показати?

 

Виконується вся робота на дошці і в зошитах спочатку для арифметичної, а потім – для геометричної або обох зразу.

Записи відповідей учнів, які по черзі визиваються до дошки від кожної групи:

 

3) а2 – а1 = 2, а3 – а2 = 2, …, аn+1 – an= d

3) b2: b1 = 2,   b3: b2 = 2,  bn+1: bn = q

4) а2 = а1 + 2, а3 = а2+2,…,

аn+1 = an + d

4) b2 = b1∙2,   b3 = b2 ∙2, 

bn+1 = bn∙q

5) Числова послідовність, кожний член якої, починаючи із другого, дорівнює попередньому, до якого додається одне й те ж число називають арифметичною прогресією. Це число називають різницею прогресії і позначають d. 

5) Геометричною прогресією називають послідовність відмінних від нуля чисел, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те ж число. Це число називають знаменником і позначають q. 

6) ;   2; 5; 8

6) ;   2; 4; 8

7) , , …

7) ;    ;…

8) an – an-1 = an+1 – an

2an = an+1 + an-1

 

9) Будь-який член арифметичної прогресії, крім першого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх з ним членів.

9) Квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, крім першого, дорівнює добутку двох сусідніх із ним членів.

10) а1 + а7 = 5 + 17 = 22

      а2 + а6 = 7 + 15 = 22

      а3 + а5 = 9 + 13 = 22

      а4 + а4 = 11 + 11 = 22

10) а1 ∙ а7 = 1 ∙ 64 = 64

      а2 ∙ а6 = 2 ∙ 32 = 64

      а3 ∙ а5 = 4 ∙ 16 = 64

      а4 ∙ а4 = 8 ∙ 8 = 64

11) сума (добуток) двох членів скінченої арифметичної (геометричної) прогресії, рівновіддалених від її крайніх членів, дорівнює сумі (добутків) крайніх членів цієї прогресії.

 

В процесі цієї гри учні стежать за відповідями товаришів, записують все в зошиті і готуються відповісти на запропоноване питання. Вчитель пропонує питання, а капітани груп називають для відповідей учнів з інших груп. Підводиться підсумок перших двох етапів гри.

 

ІІІ Розв’язування вправ (тестова робота).

 

І команда

Серед поданих послідовностей указати  арифметичні прогресії:

а) 2, 4, 7, 9, 14            б) 4, 8, 12, 16       в) 5, 10, 5, 10

Знайдіть різницю арифметичної прогресії:

2; 7; 12; …

а) 9                              б) 5                        в) 4

Серед наведених послідовностей укажіть геометричні прогресії

а) 2, 8, 32, 64              б) 7, 14, 21, 35      в) 3, 9, 27, 81

Знайти знаменник геометричної прогресії:

3; -12; 48; …

а) -4                             б) 9                         в) 4

Відомо, що дана послідовність – арифметична прогресія:

…; 6; а6; 14 …

Знайти а6 (повторюємо характеристичну властивість арифметичної прогресії).

а) 10                             б) 4                         в)20

b25 – невідомий член геометричної прогресії. Знайти його, якщо
24 =16, b26= 25 (повторюємо характеристичну властивість геометричної прогресії)

а) 4                               б) 5                         в) 20

 

ІІ команда

Серед поданих послідовностей указати  арифметичні прогресії:

а) 16, 17, 19, 23            б) 24, 22, 20, 18       в) 3, 6, 3, 6

Знайдіть різницю арифметичної прогресії:

0,7; 1; 1,3; …

а) 1,7                              б) 0,3                        в) 3

Серед наведених послідовностей укажіть геометричні прогресії

а) 2, 6, 18, 36                 б) 10, 20, 30, 40       в) 4, 8, 16, 32

Знайти знаменник геометричної прогресії:

2; -6; 18; …

а) -3                                б) 6                           в) 3

Відомо, що дана послідовність – арифметична прогресія:

…; 8; а10; 16 …

Знайти а10 (повторюємо характеристичну властивість арифметичної прогресії).

а) 12                               б) 24                         в)10

b15 – невідомий член геометричної прогресії. Знайти його, якщо b14 = 9, b16 = 25 (повторюємо характеристичну властивість геометричної прогресії)

а) 5                                 б) 17                         в) 15

 

Перевірка (розв’язання з відповідями учні перевіряють на відкритій секретній дошці).

V. Підбиття підсумків уроку.

 

Сьогодні  на уроці ми…

Я дізнавався …

Я поглибив …

Мені сподобалось …

Мене здивувало …

Мене вразило …

Я вирішив дізнатися більше…

Я вважаю дану тему…

Дані знання мені допоможуть …

Я заслуговую оцінки …

 

VІ. Завдання додому.


Теги: Леонова Т.Г., прогресії
Навчальний предмет: Алгебра
Переглядів/завантажень: 226/21


Схожі навчальні матеріали:
Всього коментарів: 0
avatar