Головна » Алгебра

Чотирикутники. Урок з геометрії для 8 класу

Мета уроку:  Повторити і систематизувати означення окремих видів чотирикутників і їх властивостей. Встановити зв’язок між обсягами понять. Вдосконалити в учнів уміння та навички розв’язувати задачі, використовуючи властивості чотирикутників: паралелограма, прямокутника, ромба, квадрата, трапеції, (задачі на обчислення, побудову і доведення). Розвивати логічне мислення і самостійність.

Тип уроку:  Урок узагальнення і систематизації знань

Структура уроку: 

Перевірка домашнього завдання.
Мотивація навчальної діяльності учнів.
Повідомлення теми, мети і завдання уроку.
Повторення і систематизація основних теоретичних положень.
Повторення і удосконалення понять і засвоєння відповідної їм системи знань.

 

Обладнання:  мультимедійний проектор, презентація «Чотирикутники»

Хід уроку

Перевірка домашнього завдання. Що було задано додому?
Учень: № 69, № 64.

Задача № 64
          Дано: ABCD – трапеція, AB=BC=CD,
                     AC CD.

                                                                 Знайти:      A,       B,      C,       D.

                                                                

Розв’язування:

   BAC =    BCA, як кути при основі рівнобедреного трикутника ABC.

   BCA =    CAD, як внутрішні різносторонні при паралельних BC і AD та січній AC. Отже,     BAC = CAD= x°,    A= D=2x°.

CAD + D = 90°. Отже,  x°+2 x°=90°,  x°=30°.

   А=2*30°=60°.       D=60°,       B=180° - 60°=120°.

А і В – внутрішні односторонні кути.

С= 90° + 30°=120°.

 

Задача № 69

Дано: ABCD – трапеція, MN – середня лінія, MN = 7см, AD – BC = 4 см.

Знайти: основи  трапеції.

Розв’язування:

BC = х см, тоді AD = (х + 4) см. За теоремою про середню лінію трапеції: (см).  BC = 5 см,
AD = 9 см.

На картці завдання:

Сторони паралелограма дорівнюють 12,7 см та 5,3 см. Бісектриси двох кутів паралелограма, прилеглих до більшої сторони, ділять протилежну сторону на 3 частини. Обчислити кожну з них.


BAK = DAK, бо AK – бісектриса.

 DAK = ВКА, як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD  і BC та січній AK.

AB = BK =5,3 см.

CDP = ADP, ADP = CPD, CD = PC = 5,3 см.

КР = 12,7 – 5,3 – 5,3 = 2,1 (см).

Мотивація навчальної діяльності учнів.

Сьогодні на уроці ми повторимо і систематизуємо означення і властивості чотирикутників: паралелограма, прямокутника, ромба, квадрата, трапеції. Встановимо логічний зв’язок між обсягами цих понять. Значення теми “Чотирикутники” дуже велике. Адже властивості і означення чотирикутників широко використовується на практиці. Тому геометрію, як науку, що виникає з практичного життя, повинен знати кожен робітник, інженер, архітектор, художник, в тому числі і ми.

І так, що таке чотирикутник? (означення).
Назвати види чотирикутників, які ми вивчили.
Дати означення паралелограма і сформулювати його властивості:

а) Діагоналі паралелограма перетинаються і в точці перетину діляться пополам.

б)  Протилежні кути і сторони паралелограма рівні між собою.

в)  Діагональ паралелограма ділить його на два рівних трикутника.

г)  Сума кутів, що прилягають до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180°.    

Дати означення прямокутника і сформулювати його властивості:

Всі властивості паралелограма.
Якщо у паралелограма діагоналі рівні, то він є прямокутником.

Дати означення ромба і сформулювати його властивості:

Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом.
Діагоналі ромба є бісектрисами кутів.

Означення і властивості квадрата:

Квадрат має властивості прямокутника і ромба:

а) у квадрата всі кути прямі.

б) діагоналі квадрата рівні.

в) діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом і є бісектрисами його кутів

7) Який чотирикутник називається трапецією?

Сформулювати теорему про середню лінію трапеції
Сформулювати теорему Фалеса.

 

Повторимо опорні задачі про чотирикутники

Якщо в чотирикутнику дві сторони рівні і паралельні, то він є паралелограмом.
Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, то цей чотирикутник паралелограм.
Чотирикутник, в якого всі сторони рівні, є ромбом.
Якщо в паралелограма діагоналі рівні, то він є прямокутником.
 

Цією властивістю широко користуються в столярних і слюсарних майстернях для перевірки, наскільки точно зроблені деталі, які мають прямокутну форму, наприклад, кришку стола або бокову стінку ящика. Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні і рівні його діагоналі, то він повинен бути прямокутником.

 

Якщо в паралелограмі діагоналі взаємно-перпендикулярні, то він є ромбом.
Якщо в паралелограмі всі кути прямі, то це буде прямокутник.
Середини сторін чотирикутника є вершинами паралелограма.
У рівнобедреній трапеції кути при основі рівні і діагоналі рівні.
У чотирикутника, вписаного в коло, сума протилежних кутів дорівнює 180°.

10)  У чотирикутника, описаного навколо кола, суми довжин протилежних сторін однакові.
Чи правильні твердження:

Якщо в паралелограмі діагоналі не рівні, то він не може бути прямокутником. (Так)
Кожний квадрат є прямокутником. (Так)
Існує ромб, який є прямокутником. (Квадрат)
Ніякий прямокутник не є ромбом.  (Квадрат)
Існує квадрат, який не є ромбом. (Ні)

Дати відповідь на такі запитання:

Назвати спільні властивості трапеції і ромба.
Чому теорему про середню лінію трапеції можна перенести на довільний паралелограм?
Чи існує трапеція, у якої два протилежні кути гострі? У якої два протилежні кути прямі?             
Чи можна побудувати трапецію з трьома прямими кутами?    

Ми підготували табличку, за допомогою якої зараз систематизуємо властивості паралелограма і його окремих видів.

 

Розв’яжемо по цій табличці такі задачі:

Якщо в означенні поняття «квадрат» не брати до уваги ознаку 4, то яке ми одержимо поняття? (Прямокутник).
Які ознаки включити в паралелограм, щоб отримати поняття «квадрат».
(4-усі сторони рівні і 3-всі кути прямі).

На кожній парті лежить листочок з таблицею.

Вдома ви її заповните і складете 2 задачі такого типу (які ознаки додати або відкинути, щоб отримати те чи інше поняття).

Усні задачі.   Розв’яжемо ще декілька задач, в яких використовуються означення та властивості всіх чотирикутників, що ми вивчили, а також опорні задачі.

M

 

                                                      Дано: АВСD – паралелограм, AM – бі-

сектриса А,  BN – бісектриса В.

                                                                  Довести: BN  AM.

                                                                 Розв’язування:

                                                                 A + B = 180º, як сума внутрішній односторонніх кутів при паралельних прямих ВС і АD та січній АВ. Оскільки  AM і  BN – бісектриси, то OВА + ВAO = 90º. Тоді AOB = 90º.

 

                                                      Дано: АВСD – прямокутник.

Довести: АЕ = СК.
Розв’язування:

∆AEO=∆CKO, бо EO =OK, як відрізки між паралельними сторонами і проходять через точку перетину діагоналей. AO = OC, як діагоналі прямокутника і в точці перетину діляться по полам.

EOA, як вертикальні, отже, AE = CK.

                                                                       Дано: АВСD – паралелограм,   AМ  = CК.

Довести: DКBM – паралелограм.
Розв’язування:

∆СKB=∆АMD за двома сторонами і кутом між ними. Аналогічно ∆AМB=∆CКD.

Якщо сторони чотирикутника попарно рівні, то це паралелограм.

 

Дано: АВСD – трапеція,    АО = ОD.

Довести: АВ=DС.

Розв’язування:

ODA = OAD, бо DО = ОА

DAC = BCA, як внутрішні різносторонні при  DА // CB і січній СА. BDA = DBC, як внутрішні різносторонні при DA // CB та січній DB. CO = OB, бо в трикутнику кути при основі рівні.

Отже, в трикутниках  DOC  та AOB: DO = OA; CO = OB;   DOC = AOB, як вертикальні. Отже, AB = DC.


Дано: ABCD – рівнобічна трапеція.
Довести: A = D.
Розв’язування:
AB = CD за умовою. CK = AB за побудовою, бо ABCK – паралелограм. Отже, CK = CD та D = CKD. Але A та CKD відповідні  кути при AB//CK та січній AK.
Отже,  A = D.
 

 

Дано: ABCD – трапеція, CK = KD.
Довести: BC = DM.
Розв’язування:

CKB = DKM, як вертикальні. СК=КD – за умовою. ВСК = КDМ, як внутрішні різносторонні при  паралельних ВС і АМ та січній С D. ∆ВСК = ∆MDК за стороною і двома прилеглими кутами. Таким чином BC = DM.

А тепер перейдемо до письмових задач:

Довести, що середини сторін рівнобедреного трикутника разом з його вершиною, що лежить проти основи, є вершинами ромба.
Розв’язування:

NP = AB, бо NP – середня лінія трикутника. МN = BС, отже,
МN = NP = МВ = ВР. А чотирикутник, у якого всі сторони рівні – є ромб.


 

У паралелограмі  ABCD протилежні сторони BC і AD розділені точками L та  M відповідно пополам і ці точки з’єднали відрізками з кінцями сторін AD і BC. Довести, що утворений при перетині проведених відрізків чотирикутник – паралелограм.

Розв’язування:

LC//AM та LC = AM – за умовою. За відповідністю чотирикутник, у якого дві сторони рівні й паралельні – паралелограм. LCMA – паралелограм. Отже, LK//MP. Аналогічно, LP//КM. Чотирикутник, у якого сторони лежать на  паралельних прямих, паралелограм.
 

Навколо кола описана  рівнобічна трапеція, основи якої відносяться, як 2:3, а середня лінія 10 см. Знайти всі сторони трапеції.
Ми говорили, що в трапецію можна  вписати коло, сума бічних сторін дорівнює сумі її основ.
Розв’язування:

АВ + СD =ВС + АD. Нехай ВС = 2х см, АД =3х см. За теоремою про середню лінію трапеції
10 см, 5х = 20, х = 4.
ВС = 2*4= 8 см,            АD= 3*4= 12 см,

                                                      АВ + СD = 20 см,         АВ = СD = 10 см.
 

Побудувати трапецію за основами і бічними сторонами.    

 

Будуємо  за трьома сторонами.
Проведемо пряму  та .
Доведення:  та  (як протилежні сторони паралелограма).
 – побудовано.

 

Самостійна робота на 2 варіанти.

1 варіант

У прямокутнику кут між діагоналями становить 120°. Обчисліть кут між діагоналлю прямокутника і меншою стороною прямокутника.

 Розв’язування:
OAD = ODA, бо діагоналі прямокутника рівні і в точці перетину діляться пополам.
OAD = (180°–120°):2 = 30°.
 OAD = BCA, як внутрішні різносторонні. OCD = 90°–30°= 60°.


2 варіант

У рівнобедреній трапецій більша основа дорівнює 3,7 дм, бічна сторона дорівнює 1,5 дм, а кут між ними 60°. Обчисліть середню лінію трапеції.

Розв’язування:
AK – катет, що лежить проти кута 30° .
AK = AB = 0,75 см.

AK = PD = 0,75 см, бо ∆АВК = ∆СРD за гіпотенузою і гострим кутом.
ВС = 3,7- 1,5 = 2,2 (дм).

MN =  (дм).

Додаткове завдання: задача №65 (підручник).

На одній стороні дошки записати умови, а на іншій – розв’язки.

 

Підсумок уроку:

Сьогодні на уроці ми повторили означення всіх видів чотирикутників, а також їх властивості. Розв’язали ряд письмових та усних задач, де використовувались означення і властивості чотирикутників. За допомогою таблиці та задач встановили зв’язок між обсягами цих понять.

 

Завдання додому: повторити пункти 50-60.

Скласти 2 задачі за таблицею.
Точка перетину діагоналей чотирикутника рівновіддалена від його сторін. Довести, що цей чотирикутник ромб.
№72 (на побудову трапеції за основами і діагоналями).

 

Література

Геометрія, 8 клас: Підруч. для загальноосвіт. навч. закл./А. П. Єршова, В.В. Голобородько, О.Ф. Крижановський, С.В. Єршов. – Х.: АН ГРО ПЛЮС, 2008. – 256с.; іл.
Кушнір І.А. Повернення втраченої геометрії. – К.: Факт, 2000. – 280с.
Математична хрестоматія для старших класів. Геометрія. Т. 2/упоряд. Л.В. Кованцова. – К.: Рад. Шк.., 1969. – 383с.
Інтернет-бібліотека МЦНМО. http://ilib.mirror0.mccme.ru/


Теги: Ільніцька Л.В., чотирикутник
Навчальний предмет: Алгебра
Переглядів/завантажень: 1134/62


Схожі навчальні матеріали:
Всього коментарів: 0
avatar