| Головна » Геометрія |
Теоретичний матеріал викладається у вигляді бесіди, презентацій, пропонуються проблемні задачі прикладного характеру і творчі завдання, що допомагає вчителю розвивати у учнів логічне мислення і просторову уяву.
Урок 1,2 Тема уроку: Взаємне розташування прямих у просторі. Взаємне розташування прямої та площини. Перпендикуляр до площини. Мета уроку: повторити, привести у систему й розширити відомості про взаємне розміщення двох прямих у просторі; розширити систему аксіом; розглянути взаємне розміщення прямої і площин та двох площин; розвивати просторову уяву, логічне мислення. Тип уроку: урок засвоєння нових знань. Обладнання: моделі просторових фігур, комп’ютер, таблиця «Початкові відомості стереометрії».
Хід уроку. І. Організаційний етап. ІІ. Перевірка домашнього завдання. Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відповісти на запитання учнів, які виникли при їх розв’язуванні. Наприкінці уроку зібрати робочі зошити для перевірки домашнього завдання на виставлення оцінок за ведення зошитів.
ІІІ. Аналіз результатів контрольної роботи. Оголосити статистичні дані про бали, що одержали учні.
IV. Мотивація навчальної діяльності. Ви ознайомилися з планіметрією. Що це за наука? …. Планіметрія – це розділ геометрії, у якому вивчають властивості плоских геометричних фігур: трикутників, паралелограмів, трапецій, кіл то що. Але, крім плоских фігур, існують і просторові фігури: прямокутний паралелепіпед, куб, піраміда, циліндр, конус, куля. Багато предметів, що нас оточують, мають форму прямокутного паралелепіпеда: класна кімната, цегла, сірникова коробка тощо. Популярна усьому світі іграшка – кубик Рубіка – має форму куба. Добре відомі піраміди Давнього Єгипту дають нам уявлення про широкий клас геометричних тіл, яки називаються пірамідами. Пропоную учням розгадати кросворд, який підкаже, до якого розділу геометрії вони переходять у навчанні. У виділеному стовпчику учні читають: «Стереометрія».
Частина круга, яка лежить у середині відповідного центрального кута. (сектор).
V. Поетапне сприймання і усвідомлення нового матеріалу.
1. Просторові геометричні фігури. Прямокутний паралелепіпед – це просторова геометрична фігура, яка обмежена шістьма прямокутниками, що називаються гранями. Сторони прямокутників називаються ребрами прямокутного паралелепіпеда, а вершини прямокутників – вершинами прямокутного паралелепіпеда.
Куб – це прямокутний паралелепіпед, у якого всі шість граней – квадрати.
Прямокутний паралелепіпед і куб – це представники великого класу геометричних фігур, які називають многогранниками. Крім многогранників у геометрії розглядають й інші просторові фігури: циліндри, конуси, кулі тощо. Розділ геометрії, у якому вивчаються властивості просторових фігур, називається стереометрією. Верхню і нижню грані прямокутного паралелепіпеда називають основами, а ребра цих граней – ребрами основи, інші ребра називають бічними ребрами, а інші грані – бічними гранями.
Завдання класу. Назвіть бічні грані і бічні ребра прямокутного паралелепіпеда (рис.1).
2. Основні просторові фігури. Основними фігурами простору є точка, пряма і площина. Уявлення про точки і прямі ви маєте з курсу планіметрії. Нагадаємо, що точки позначають великими латинськими буквами, наприклад, - А,В,С…, прямі позначають малими латинськими буквами, наприклад, - прямі а,в,с…, або двома великими буквами,наприклад, - прямі АВ, ВС, СД…. Матеріальними моделями частини площини є, наприклад, поверхня столу, поверхня віконного скла, мармурова плита тощо. У геометрії площину уявляють необмеженою, ідеально рівною і гладкою. Зображують площину у вигляді паралелограма (рис.3) або у вигляді довільної області (рис.4).
Позначають площини малими грецькими буквами, наприклад – площини α, β, γ. Як і будь яка геометрична фігура, площина складається з точок. Якщо точка А лежить у площини α, то говорять, площина α проходить через точку А, і записують так: А є α. Якщо точка А не лежить на площині α, говорять, що площина α не проходить через точку А, і записують так: А є α. Якщо кожна точка прямої а лежить на площині α, говорять,що пряма у площині α або площина α проходить через пряму а, і записують так: а с α; а с α
Завдання класу. Побудуйте і запишіть за допомогою символів: а) площину α і точку А, яка лежить у ній; б) площину β і точку В,яка не належить їй; в) площину γ, яка проходить через пряму а; г) площину α і пряму а, яка не лежить у площині α; д) дві площини β і γ, які проходять через пряму с.
3. Основні аксіоми стереометрії. Як і в планіметрії, властивості основних фігур у стереометрії виражаються аксіомами. Нагадаємо, що в планіметрії властивість прямих і точок виражалася аксіомою: яка б не була пряма, існують точки, які належать цій прямий, і точки, які їй не належать. Через дві різні точки можна провести пряму і до того ж тільки одну. Узявши яку-небудь площину (наприклад, площину підлоги класної кімнати) ми можемо вказати точки, які належать цій площини, і точки, які не належать їй. Тому одна із властивостей площини в просторі виражається аксіомою. Аксіома 1. Яка б не була площина, існують точки, які належать цій площині, і точки які їй не належать. Аксіома 2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку. Наочною ілюстрацією цієї аксіоми є перетин двох стін, стіни і підлоги класної кімнати. Аксіома 3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину і до того ж тільки одну. Ніяких інструментів, якими б можна було побудувати в просторі площину, немає. Тому вираз «можна провести площину» вживається в значенні «існує площина». Єдину площину можна провести: через дві прямі, що перетинаються; Слід зазначити, що в просторі існує безліч площин, для кожної площини справедливі всі аксіоми і теореми планіметрії. Більше того, ознаки рівності і подібності трикутників справедливі для трикутників, що лежать в різних площинах.
Завдання класу. Назвіть вершини, ребра, грані прямокутного паралелепіпеда (рис. 1). а) не належать передній грані; б) належать верхній грані; в) належать грані АВСД; г) не належать грані А1В1 ВА. 3. Користуючись рис.1 укажіть: а) спільну точку верхньої і передньої граней; б) пряму перетину задньої і нижньої граней; в) спільні точки площин граней АВВ1А1 і А1В1С1Д1; г) пряму перетину граней А1В1С1Д1 і ВВ1С1С. 4. Користуючись рис.1. укажіть, яку площину визначають прямі а) АВ і АД; б) ВС і СС1; в) ДС і СС1; г) А1В1 і В1А. 5. Користуючись зображенням куба на рис.2., доведіть, що можна провести площину через прямі: а) АС і СС1; в) АД і ДС1.
4. Взаємне розміщення двох прямих у просторі. Із планіметрії відомо, що дві прямі, що лежать у площині, можуть перетинатися або не мати спільних точок. Якщо дві прямі лежать одній площині й не мають спільних точок, то вони називаються паралельними. У просторі дві різні прямі або перетинаються, або не перетинаються. Проте другий випадок допускає дві можливості: прямі лежать в одній площині або прямі не лежать в одній площині. Прямі, які не перетинаються і лежать в одній площині, називаються паралельними. Прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються мимобіжними. (Випадки взаємного розташування двох прямих у просторі демонструються за допомогою стереометричного ящика або на каркасній моделі куба). Отже, дві прямі а і в в просторі можуть перетинатися, бути паралельними, бути мимобіжними. Завдання класу. Продемонструйте різні випадки розташування двох прямих у просторі на предметах оточення. а) чи перетинаються прямі АА1 і ВВ1? А1В1 і Д1С1? Як називаються ці прямі? б) чи перетинаються прямі АД і ВВ1? АВ і ДД1? Як називаються ці прямі? в) чи можна провести площину через прямі: АД і ДВ1? А1Д1 і С1Д1? АД і ВВ1? АА1 і ДВ1? АА1 і ДД1?
У ході пояснення нового матеріалу учні складають конспект 1.
Яка б не була площина, існують точки, що належать її і точки, що їй не належать Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину і до того ж тільки одну.
5.Взаємне розміщення двох площин Ми знаємо, що якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходіть через цю точку. Це твердження – аксіома стереометрії (2). Звідси випливає, що дві площини або перетинаються по прямій, або не перетинаються, тобто не мають спільних точок (рис.5).
Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. Уявлення про паралельні площини дають підлога і стеля класної кімнати, дві протилежні стіни класної кімнати, поверхня стола і площина підлоги. Якщо площини α і β паралельні, то пишуть: α іі β. Дві площини будуть паралельними, якщо дві прямі, що лежать в одній площині й перетинаються, паралельні двом прямим другої площини (рис.6), тобто якщо а ІІ а1 , в ІІ в1, то α ІІ β.
Завдання класу. 1. Наведіть приклади паралельних площин із оточення. 2. На моделях куба, прямокутного паралелепіпеда покажіть паралельні площини і площини, які перетинаються. 3. Користуючись зображенням прямокутного паралелепіпеда АВСДА1 В1С1Д1 (рис.1) укажіть: а) грані, які перетинають грань АВСД; б) площини, які паралельні площини АВС. 4. Дано: куб АВСДА1В1С1Д1. Доведіть паралельність площин: а) АВС і А1В1С1, в) АВ1Д1 і ВДС1.
Площина і пряма, яка не лежить у площині, або не перетинаються, або перетинаються в одній точці.
6. Випадки взаємного розміщення прямої і площини.
1. Площина α не має спільних точок із прямою а. Пряма і площини, які не мають спільних точок, називаються паралельними, позначаються аІІα
2. Площина α має з прямою а тільки одну спільну точку. У цьому випадку говорять, що пряма а і площина α перепинаються (рис.8). 3. Пряма а лежить у площині α (рис.9).
Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині і проходить через точку перетину. На рис. 10 пряма а перпендикулярна до площини α. Пишуть: а ┴ α Із означення випливає, що а ┴ с, а ┴ в. Уявлення про пряму, перпендикулярну до площини, дають вертикальні стовпи – вони перпендикулярні до поверхні землі, перпендикулярні до будь-якої прямої, що проходить через основу стовпа і лежить у площини землі. Як перевірити, чи перпендикулярна дана пряма до даної площини? Це запитання має практичне значення, наприклад, при установці щогол, колон, тощо, які потрібно встановлювати вертикально, тобто перпендикулярно до площини землі. Насправді немає необхідності перевіряти перпендикулярність прямої до всіх прямих, що лежать у даній площині й проходять через точку перетину даної прямої і площини. Достатньо перевірити перпендикулярність лише двох прямих, що лежать у площині й проходять через точку перетину прямої і площини. Справедлива така теорема: Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які перетинаються і лежать у площини, то дана пряма перпендикулярна до площини. Перпендикуляром до площини називається відрізок прямої, перпендикулярної до площини, що міститься між даною точкою прямої і точкою перетину її з площиною. На рис.11 АО – перпендикуляр до площини. Будь-який інший відрізок, що сполучає точку А з довільною точкою В площини α, називається похилою. Відрізок ВО називають проекцією похилої АВ на площину α.
Взаємне розміщення прямої і площини
Пряма лежить у площині перетинаються паралельні а ІІ α Пряма, перпендикулярна до площини Означення. Пряма а перпендикулярна до площини α, якщо а ┴ с, а ┴ в. Теорема. Якщо а ┴ с, а ┴ в, то а ┴ α
Перпендикуляр і похила.
АО – перпендикуляр АВ – похила ВО – проекція похилої АВ на площину α
Відстанню від точки до площини називається довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину.
VI. Закріплення й осмислення нового матеріалу. Розв’язування задач. Задача 1. (усно). Пряма а паралельна лінії перетину площин α і β. Як розміщена пряма а відносно площин α і β? Розв’язання. За ознакою паралельності прямої та площини пряма а паралельна кожний з цих площин.
Задача 2. Точки M і N – середини сторін АВ і ВС трикутника АВС. Яким може бути взаємне розміщення прямої MN і площини α, що проходить через сторону АС? Розв’язання. Оскільки M і N - середини сторін АВ і ВС трикутника АВС, то MN – середня лінія, паралельна стороні АС трикутника. Отже можливі 2 випадки: 1) прямі MN і АС лежать у площині α; 2) пряма MN не лежить у площині α і паралельна прямій АС, що лежить у площині α, тобто пряма MN ІІ α.
Задача 3. Доведіть, що через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину. Доведення. Нехай А,В,С – три дані точки, які не лежать на одній прямій (рис.12).
Проведемо прямі АВ і АС: вони різні, бо точки А,В,С не лежать на одній прямій. За аксіомою стереометрії через прямі АВ і АС, які перетикаються, можна провести площину α т.д.
Задача 4. Прямі АВ не лежать в одній площині. Доведіть, що прямі АС і ВД не можуть перетинатися. Доведення. Якщо припустити, що прямі АС і ВД перетинаються, то вони лежать у деякій площини. тоді всі точки А,В,С,Д лежать у цій площині, а отже прямі АВ і СД лежать в одній площині, що суперечить умові. Таким чином, прямі АС і ВД не можуть перепинатися. Задача 5. Дано:АВ, С не належить АВ. Доведіть: пряма АВ і точка С лежать у площині α (рис.13).
Доведення. Візьмемо точку Д, яка лежить на прямій АВ. Проведемо пряму СД. Через прями АВ і СД, які перетинаються, проводимо площину α. Що і треба було довести.
Задача 6. Прямі АВ, АС і АД попарно перпендикулярні. Знайдіть відрізок СД, якщо: АВ= 3 см, ВС=7 см, АД=1,5 см.
Рис.14 Розв’язання. 1. Розглянемо трикутник АВС. У ньому АВ ┴ АС (за умовою, АВ=3см, ВС=7см. За теоремою Піфагора АС2=ВС2-АВ2=49-9=40см. АС= √40. 2. Розглянемо трикутник АДС. У ньому АД┴АС (за умовою АД=1,5см). За теоремою Піфагора: ДС2= АС2+АД2= 40+ 2,25= 42,25см, ДС=6,5см. Відповідь: 6,5см
Задача 7. Через центр описаного навколо трикутника кола проведено пряму, перпендикулярну до площини трикутника. Доведіть, що кожна точка цієї прямої рівновіддалена від вершин трикутника.
Рис.15 Розв’язання. Розглянемо ∆ АОХ, ВОХ, СОХ. У них ХО - спільна, ∟АОХ=∟ВОХ=∟СОХ=90. (за умовою), АО=ВО=СО=R-радіус описаного навколо ∆АВС кола. Отже трикутники рівні, тоді АХ=ВХ=СХ, що і треба було довести.
Задача 8. З точки до площини проведено дві похилі, довжина яких відносяться як 5:6. Знайдіть відстань від цієї точки до площини, якщо проекції похилих дорівнюють 4см і 3√3см.
рис.16 Розв’язання. За умовою АВ=4см, ВС= 3√3см, AS:SC= 5:6. Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х, тоді AS = 5х, SC=6х. Розглянемо ∆ SBA ( ∟SBA = 90о). За теоремою Піфагора: SB2 = AS2-AB2 =25x-16. Розглядемо ∆SBC (∟SBC= 90о). За теоремою Піфагора: SB2 = CS2-CD2=36x-27. Отже, AS2-AB2 = CS2- CB2, 25x2 – 16 = 36x2 - 27, 11x2 =11; x2 =1; x =1 і x = -1 (не задовольняє умову задачі). Тоді AS = 5, SB2 =AS2 –AB2 = 25 - 16 = 9, SB=3. Відповідь: 3 см.
Задача 9. Через вершину А прямокутника АВСД проведено пряму АК, перпендикулярну до його площини. Відстані – від точки К до решти вершин прямокутника дорівнюють 6м,7м і 9м. Знайдіть відрізок АК.
рис.17 Розв’язання. Найбільша з похилих - КС, бо вона має найбільшу проекцію – діагональ АС прямокутника АВСД. Отже, КС = 9м; нехай КВ = 7м, КД = 6м, АК = Хм. У ∆АДК ∟КАД = 90о. За теоремою Піфагора: АД2 = КД2 – АК2 = 36 – х2. У ∆АВК ∟КАВ = 90о. За теоремою Піфагора: АВ2 = КВ 2 – АВ2 = 49 - х2. У ∆АДВ ∟ВАД = 90о. За теоремою Піфагора: ВД2 = АД2 + АВ2 = 36 – х2 + 49 – х2 = 85 -2х2. У ∆АСК ∟КАС = 90о. За теоремою Піфагора: КС2 = АС 2+ АК2; 81 =85 – 2х2 + х2, х2 = 4; х = -2 (не задовольняє умову задачі). х = 2. Відповідь: 2м.
VII. Підсумок уроку. 1. Які дві прямі називаються паралельними? 2. Які дві прямі називаються мимобіжними? 3. Яка пряма називається паралельною площині? 4. Яка пряма називається перпендикулярною до площини? 5. Що таке перпендикуляр? Похила?
VIII. Домашнє завдання: вивчити §6 п. 20. Розв’язати задачі № 795,799, 804, 806, 809, 812 1. Вимірі прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 1см, 2см, 2см. Знайдіть відстань від однієї із вершин прямокутного паралелепіпеда до інших його вершин? 2. Доведіть, що паралельні площини відтинають від паралельних прямих рівні відрізки. 3. Знайти у додатковій літературі теорему про три перпендикуляри.
Схожі навчальні матеріали: | ||||||
| Всього коментарів: 0 | |