Головна » Геометрія

Розв’язування трикутників. Прикладні задачі

Мета. Навчити використовувати вміння розв’язувати трикутники для розв’язування прикладних задач; поглибити та розширити діапазон знань учнів з теми.  Розвивати творчі здібності і логічне мислення учнів при знаходженні ними раціональних шляхів для розв’язування практичних задач. Виховувати прагнення до знань, інтерес  до математики.

Тип уроку. Урок - практикум.

Обладнання та наочність. Презентація, мультимедіа проектор, картки із  завданнями  для груп.

Хід уроку

I.Організаційний  етап.

II. Перевірка домашнього завдання.

Два учні класу відтворюють розв’язання домашніх задач на дошці, а інші беруть участь у математичному диктанті.

Задача № 1. У трикутнику АВС    С = 90 ,   А = 30°, ВС = 2 см, АК – бісектриса. Розв’яжіть трикутник АВК. (Заповніть пропуски)

Розв’язання

 

В трикутнику АВС  С = 90°,  А = 30°, ВС = 2 см, тому АВ = … см

АК – бісектриса, тому  САК =  ВАК =…°.

 АКВ = 180° - (…° + …°) = …°.

 =  =  .

АК = … см, ВК = … см.

 

Відповідь: 4 см; 3,6 см; 1,1 см; 15°; 105°.

Задача № 2. Більша основа й бічні сторони рівнобедреної трапеції дорівнюють 10 см, а діагональ трапеції утворює з основою кут 50°. Знайдіть середню лінію трапеції. (Заповніть пропуски)

В трапеції АВСD   АD = АВ = СD = 10 см,

 САD = 50°,  АСD = …°,  АDС = …°,

 ВАС = …°,  ВСА = …°.

В трикутнику АВС    =  .

BC = … см.

Середня лінія    = … см.

 

Відповідь: 8,3 см.

Математичний диктант ( з подальшою перевіркою).

Якщо в трикутнику  відомі дві сторони b і с та кут між ними, то третя сторона дорівнює... 
Якщо в трикутнику відомі сторона c та два прилеглі до неї кути   і  , то дві інші сторони можна знайти так...
Якщо в трикутнику відомі сторони   а, b і с, то косинус кута  дорівнює…
Якщо в трикутнику відомі сторони   а, b і с, то кут, протилежний стороні с гострий, якщо…   
Якщо в трикутнику відомі сторони   а, b і с, то кут, протилежний стороні с тупий, якщо…   
Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює...
У трикутнику проти більшої сторони лежить...
У трикутнику проти меншого кута лежить...
Якщо в трикутнику відома сторона  а і протилежний кут , то радіус описаного навколо трикутника кола, дорівнює…                                                                                          

 

III. Актуалізація знань учнів. 

Повторення теорем косинусів, синусів та їх наслідків.  

Виконання усних вправ за готовими малюнками.   

  

IV. Розв’язування задач.

     На перших етапах свого розвитку геометрія  являла собою набір корисних, але не пов’язаних між собою правил для розв’язування задач, з якими люди мали справу в повсякденному житті. Лише багато віків поспіль вченими  Давньої  Греції була створена теоретична основа геометрії. Але і тоді прикладна геометрія не втратила свого значення, оскільки була незамінна для землемірства, мореплавання, будівництва.

     Вміти розв’язувати трикутники потрібно для того, щоб визначити відстані, не вимірюючи їх безпосередньо. Подібні задачі розв’язують геодезисти, маркшейдери, судноводії, штурмани. Знання стають міцнішими, якщо вони застосовуються в практичній діяльності.

      Клас поділяється на групи. Мета кожної групи – якомога швидше і правильно розв’язати практичні задачі, запропоновані вчителем на картинках. На обговорення задач  дається 10 хвилин. Задачі записуються в зошит. Кожен учень своєї групи повинен пояснити свою задачу. Переможцем буде та група, яка першою правильно виконає розрахунки.

      Кожна група звітує про підсумки роботи. Для відповіді біля дошки викликається головний рахівник. Учні пояснюють розв’язання задач, записують розв’язання в зошити, обмінюються задачами.

Задача для 1 групи.  В деякий момент з пароплава Р відмітили азимут пунктів А і В на суші. Азимут пункту А виявився 31°, пункту В - 85°. Напрям АВ по карті - 130°, відстань АВ = 650 м. Знайти відстань від пароплава Р до пункту А в момент вимірювання кутів.

Зауваження. Азимут точки А відносно точки Р – це кут, вершина якого знаходиться в точці Р, одна сторона якого РN напрямлена на північ, друга проходить через точку А (за годинниковою стрілкою).

 

Мал. 1.                                                      

Розв’язання

За умовою АВ = 650 м, NPA = 31°, NPВ = ОРВ = 85°,

   АРВ = ОРВ -  ОРА = 54°, NОВ = 130°. Знайдемо РА.

 Для трикутника ОРВ   NОВ = 130° - зовнішній, тому РОВ = 50°,

РВО = 180° - ( РОВ + ОРВ). Отже РВО = 45°.

 Із АРВ ( АВ = 650 м,  АРВ = 54°, РВА = 45°)         за теоремою синусів   =  .

Звідси  АР =  ,  АР =  =    570 м.

Відповідь: 570 м.

Задача для 2 групи.

 

З пароплава в деякий момент видно маяк під кутом в 28° за  курсом корабля, а коли пароплав пройшов по курсу 7,8 км, маяк стало видно під кутом в 130° вліво від курсу. Знайти відстань пароплава від маяка в момент, коли був виміряний  другий кут.

 

Мал. 2.                                                                                                

Розв’язання

За умовою АВ = 7,8 км,  А = 28°,  В = 130°. Тоді  С = 22°. Знайдемо ВС.

За теоремою синусів   =  .

Звідси  ВС =  , ВС =  =    9,8 км.

Відповідь: 9,8 км.

Задача для 3 групи. На малюнку  дана схема підйомного крану, у якого частина стойки ВС = 3,5 м, плече BD = 7,5 м, кут між плечем і стойкою дорівнює 138°. Знайдіть довжину тросу CD і кут ВСD.

 

Мал. 3.

Кут між плечем ВD і стойкою АС дорівнює  АВD = 138°,

тому  СВD = 42°.

За теоремою косинусів СD2 = ВС2 + ВD2 – 2 ∙ ВС ∙ ВD ∙ cos  СВD.

СD2 = 3,52 + 7,52 - 2 ∙ 3,5 ∙ 7,5 ∙ cos 42° = 68,5 – 52,5 ∙ 0,669 = 33,3775.

СD  5,8 м.

За наслідком із теореми косинусів cos ВСD =  ,

cos ВСD =  =    - 0,261.

Тому ВСD тупий, ВСD = 180° - 75° = 105°.

Відповідь: СD  5,8 м, ВСD = 105°.

Задача для 4 групи. Літак летить горизонтально на висоті 8,5 км над рівнем моря зі швидкістю 720 км/год. Пілот замітив, що кут зниження на вершину гори дорівнює 18°. Через 60 с він відмітив, що кут зниження став 81°. Яка висота гори над рівнем моря ?

 

Мал. 4.

Нехай літак летить із точки А зі швидкістю 720 км/год  і за 60 с пролітає відстань АВ = 720 км/год ∙  год = 12 км.  АВ  КМ, проведемо CN  КМ.

ВАС = 18°, DBС = 81°, АМ = 8,5 км.

В  АВС  АВС = 99°, ВСА = 180° - ( ВАС + АВС), ВСА = 63°.

За теоремою синусів   =  .

Звідси  АС =  , АС =  = =    13,3 км.

Із АNС (  N = 90°)  CAN = 90° - 18° = 72°.

AN = AC ∙ cos  CAN, AN =13,3 км ∙ cos 72° = 13,3 км ∙ 0,309  4,1 км.

Тоді  NМ = АМ – АN,  NМ = 8,5 км – 4,1 км = 4,4 км.

Висота гори дорівнює 4,4 км.

 

Відповідь: 4,4 км.

V. Підсумки уроку.

         1. Підбиття підсумків роботи в групах (самооцінка)

             Вибране підкреслити.

         А) Чи кожен учень зміг висунути свою пропозицію?

                   Так.            Не зовсім.           Ні.

         Б) Чи все обговорили?

                   Так.            Не зовсім.           Ні.

         В) Чи виконали задачу до кінця?

                   Так.           Не зовсім.           Ні.

VI. Домашнє завдання

     Повторити теореми синусів, косинусів та їх наслідки, розв’язування трикутників. Розв’язати задачі.

Задача 1. В горі прорубали тунель. Вхід А і вхід В знаходяться на одному рівні. Уклін в точці а становить 2,5°, уклін у виході в дорівнює 1,1°. АВ = 85 м. Знайдіть довжину тунелю. 

Задача 2. Два літака вилітають одночасно з аеродрому. Швидкість першого літака дорівнює 64о км/год, курс 12°; швидкість другого літака – 500 км/год, курс 178°. Яка відстань буде між ними через 15 хв?    

Задача 3. Три дороги утворюють трикутник АВС. При цьому  А = 20°,  В = 150°. АВ = 100 км. Автомобіль, що знаходиться в точці А, хоче попасти в пункт С найскоріше. АС і СВ – ґрунтові дороги, АВ – шосе. Швидкість по шосе у 2 рази більше, ніж по ґрунтовій дорозі. Який маршрут йому обрати?

Задача 4. Залізний стержень довжиною 2 м потрібно зігнути під прямим кутом так, щоб відстань між кінцями дорівнювала 1,5 м. Де має знаходитись точка згину? Розглянути цю задачу за умови, що кут згину дорівнює 60°.


Теги: Мальгіна Н.К., Трикутник
Навчальний предмет: Геометрія
Переглядів/завантажень: 682/56


Схожі навчальні матеріали:
Всього коментарів: 0
avatar