Головна » Геометрія

Чотирикутники. Урок з математики для 8 класу

Мета. 1. Узагальнити і систематизувати знання учнів про властивості чотирикутників, закріпити навички використання їх до розв’язування задач.

2. Продемонструвати впровадження проектного методу на  уроках математики.

3. Розвивати творче мислення, інтерес до математики.

4. Учити цінувати думки та працю інших, етики та культури спілкування

Тип. Урок – проект, розрахований на дві академічні години.

План роботи над проектом:

Підготовка. (10´)

Визначення теми, мети і завдань проекту, об’єкта дослідження; обговорення методу проекту;  формування мікрогруп учнів, вибір лідера.

Планування.( 5´)

Визначення джерел інформації, способів збирання і аналізу інформації; формування уявлень про бажані результати; встановлення форми звіту; розподіл завдань між членами мікрогруп.

Дослідження. (30´)

Збір  інформації, формування гіпотез; спостереження, визначення напрямків роботи, виконання безпосередніх завдань.

Результати. (5´)

Аналіз інформації, формулювання висновків.

Звіт. (40´)

Вибір форми звіту, його підготовка; захист проекту учнями, колективне обговорення і самооцінка. Оцінка роботи учнів проекту. Оцінка вчителя.

Виконання проекту

Етап орієнтації.

Ми завершили вивчення теми «Чотирикутники». Сьогодні маємо узагальнити і систематизувати вивчене, навчитися використовувати знання в незвичних і несподіваних ситуаціях.

Епіграфом до нашого уроку буде висловлювання Б. Паскаля:

«Серед різних умів за однакових інших умов має перевагу той,хто знає геометрію».

То ж ваші знання та вміння їх застосовувати стануть в нагоді при створенні книжки – рукопису «Чарівні чотирикутники».

Цілепокладання і проектування.

Учитель разом з учнями визначають особистісно значиму мету діяльності на уроці, показники досягнення цієї мети. На початку першого уроку учні об’єдналися у мікрогрупи  по 5 – 6 чоловік приблизно за знаннями. Лідером обирається не тільки знаючий учень, а й гарний організатор, який користується повагою товаришів. Він керує роботою мікрогрупи, веде облік роботи кожного учня, допомагає товаришам, оцінює їхню роботу в кінці уроку. Роботу лідера оцінюють усі члени мікрогрупи, враховуючи його допомогу та підтримку.

Кожна мікрогрупа вибирає конкретне завдання. Вони пропонують порядок виступів, виходячи з логіки вивчення теми, складають план роботи.

Означення та історичні чи цікаві факти;
Властивості вибраного чотирикутника;
Ознаки вибраного чотирикутника;
Створення ребусу (зашифроване слово – назва чотирикутника);
Розумова атака (розв’язування усних задач);
Розв’язування  задач;
Знайди спільне (обмін думками).

Виконання плану діяльності.

Представники мікрогруп виступають з повідомленнями та пропонують розв’язування задач (роздаються вчителем після визначення тематики роботи групи). Члени інших мікрогруп можуть задавати запитання чи доповнювати виступи.

 

І мікрогрупа.

Сьогодні ми радо покажемо вам

З паралельних ліній паралелограм.

Геометрично точно, естетично гарно –

Сторони в нього  паралельні попарно,

Рівні завжди і кути протилежні …

Паралелепіпеди від нього залежні.

Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні.
Паралелограм дає означення прямокутнику, ромбу; в житті паралелограм – це рами велосипедів, мотоциклів, де для жорсткості проведено діагональ.
У фізиці використовують паралелограм під час вивчення розкладання сил, знаходженні рівнодійної сили.
У паралелограма протилежні сторони та кути рівні.
Діагоналі перетинаються і в точці перетину діляться навпіл.
Кути паралелограма, які прилягають до однієї сторони – є  внутрішніми односторонніми, їх сума дорівнює 180°.
Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник паралелограм.

 

Розумова атака (розв’язування усних задач).

Периметр паралелограма 98 см. Одна зі сторін на 7 см більша, ніж друга. Знайти сторони паралелограма.

Розв’язання.

Сума двох суміжних сторін 98 : 2 = 49 (см). Якщо одна із сторін. х см, то друга (х + 7) см. Маємо х + х + 7 = 49. Звідси 2х = 42. Отже ,дві сторони паралелограма по 21 см, дві – по 28 см.

Сума двох кутів паралелограма дорівнює 168°. Знайти його кути.

Розв’язання.

Двома заданими кутами можуть бути тільки протилежні кути паралелограма, бо сума кутів, які прилягають до однієї сторони дорівнює 180°. Отже, ці кути по 168° : 2 = 84° (протилежні кути паралелограма рівні). Тоді кожен із решти кутів по 180° - 84° = 96°.

3. Як на місцевості виміряти відстань між точками А і В?

                                               

Розв’язання.                 

Проводимо паралельні відрізки АС та ВD однакової довжини. За ознакою паралелограма отримаємо АВDС – паралелограм. За властивістю паралелограма АВ = DС. Вимірявши довжину відрізка DС отримаємо шукану довжину.

Розв’язування  задач.

Задача 1. Бісектриса одного з кутів паралелограма ділить його сторону навпіл. Знайдіть периметр паралелограма, якщо ця сторона дорівнює а см.

Розв’язання.                                                                                                                                          

Нехай   АВСК – даний паралелограм, тоді ВС = АК = а як        

протилежні сторони паралелограма. АВ =ВР як бічні                                                                                

сторони рівнобедреного трикутника АВР, що відтинається

бісектрисою кута паралелограма. За умовою ВР = РС = .                                             

Отже, АВ =  і СК =  як  протилежні сторони паралелограма.

Тому периметр паралелограма – а + а +  +  = 3а.                                                                                             

ІІ мікрогрупа.

Цікаву фігуру ми будемо мати,

Якщо з книжкою, зошитом його порівняти:

Рівні попарно сторони в нього.

Вони відходять від кута прямого.

Це – прямокутник, всім добре відомий …

Адже стеля й стіни такі самі в домі.

Прямокутник – це паралелограм, у якого всі кути прямі.
Прямокутник несе красу, вишуканість, чіткість. Це стіни будинків, підлога, стеля, грані олівців та інше.
Протилежні сторони прямокутника паралельні і рівні.
Всі кути в прямокутнику прямі.
Діагоналі прямокутника рівні.
Діагоналі прямокутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.
Прямокутник – це статистична фігура.

Розумова атака (розв’язування усних задач).

 

Розв’язання.

В Δ АВЕ В = 90°(як один з кутів прямокутника). АВ = ВЕ, отже Δ АВЕ – рівнобедрений з основою  АЕ. А = Е як кути при основі рівнобедреного трикутника, в сумі вони мають 90° як гострі кути прямокутного трикутника. Значить, А = Е = 45°, ВАЕ = 45°.

 2. У прямокутнику бісектриса одного з кутів поділяє сторону на відрізки 20 см та 30 см. Знайти периметр прямокутника.

Розв’язання.

Так як сторона прямокутника поділяється на відрізки 20 см та 30 см, то її довжина – 50 см. Протилежна їй сторона також дорівнює 50 см.

Друга сторона прямокутника може бути як 20 см так і 30 см (див. рисунок попередньої задачі). Тому:

Якщо друга сторона 20 см і протилежна їй сторона 20 см, то

       периметр прямокутника 20 см + 20 см + 50 см + 50 см = 140 см.

Якщо друга сторона 30 см і протилежна їй сторона 30 см, то

       периметр прямокутника 30 см + 30 см + 50 см + 50 см = 160 см.

Розв’язування  задач.

Задача 1. Діагональ ділить кут прямокутника у відношенні 1 : 2, а менша сторона дорівнює 12 см. Знайдіть діагональ прямокутника.                                 

Розв’язання.

Нехай ЕКРМ – даний прямокутник, у якого

РЕК: РЕМ = 2 : 1. КЕМ =90° (як кут прямокутника).

Позначимо через k коефіцієнт пропорційності, тоді              

РЕК = 2 k, а РЕМ = k. Отже, 2 k +  k = 90°. Звідки РЕК = 60°, а РЕМ = 30°.

Розглянемо Δ РЕМ ( М=90°).  РМ = ½ ЕР (як катет протилежний куту в 30° ).

Значить ЕР = 2 РМ = 24 см.

ІІІ мікрогрупа.

Якщо ви такі цікаві ,

 Скажемо ми без зайвих слів:

Ромба дві діагоналі

Бісектриси є кутів.

А крім того в нього рівні

Всі чотири сторони.

А іще діагоналі створюють кути прямі.

Ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні.
Протилежні кути ромба рівні.
Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.
Діагоналі перетинаються під прямим кутом і в точці перетину діляться навпіл.
Ромб вважається динамічною фігурою.
Рейковий домкрат для автомобілів має форму ромба. Будівельники отримують красиві візерунки з плиток у вигляді ромбів.

Розумова атака (розв’язування усних задач).

1. Знайдіть кути ромба, в якому одна діагональ дорівнює стороні.

Розв’язання.

Так як одна діагональ ромба дорівнює стороні, то вона розбиває  ромб на два правильних трикутника. Отже величина гострих кутів ромба по 60°.

Кути ромба, що прилягають до однієї сторони – є внутрішніми односторонніми, їх сума дорівнює 180°. Тому величина тупих кутів ромба по 180° - 60° = 120°.                                                             

 

2. Знайти невідомий кут ромба.                                                        

  Розв’язання.                                                                                           

АСК =40° (протилежні кути ромба рівні)

Δ АСК  - рівнобедрений (сторони ромба рівні),                       

тому кути при основі АК рівні. За властивістю кутів ромба маємо х + х + 40° = 180°. Тоді

х = 70°

3. Сума двох кутів ромба 160°. Знайдіть всі його кути.

 Розв’язання.

Дані за умовою кути ромба протилежні (сума кутів ромба, що прилягають до однієї сторони дорівнює 180°). Значить гострі кути ромба по 80°. За тією ж властивістю один з тупих кутів ромба 180° - 80° = 100°. Протилежний йому кут також 100°.

Розв’язування  задач.

Задача 1. Кути ромба відносяться як 1:2, а менша діагональ дорівнює 15 см. Знайдіть периметр ромба.

Розв’язання.

Нехай k коефіцієнт пропорційності, тоді кути ромба 1 k, 2 k, 1 k, 2 k (протилежні кути ромба рівні). Їх сума 360°. Отже k = 60°, а кути ромба  60°, 120°, 60°, 120°.

Менша діагональ ромба ділить його на два рівносторонніх трикутника (гострий кут трикутника 60° і інші два по 60°, бо діагональ ділить тупий кут 120° на рівні частини). Значить сторона ромба дорівнює меншій діагоналі ромба а саме 15 см. Периметр ромба 4·15 см = 60 см.

ІV мікрогрупа.

Математика усьому світу влада.

Слід розглянути й властивості квадрата.

Сторони рівні, прямі кути –

Квадрат побудуєш без помилки ти!

Квадрат – це прямокутник у якого всі сторони рівні.
Діагоналі рівні, перетинаються під прямим кутом і в точці перетину діляться навпіл.
Діагоналі квадрата є бісектрисами його кутів.
Квадрат – з латинської «чотирикутний» - перший чотирикутник, який розглядався в геометрії.
В медицині для пересадки шкіри використовують спеціальну машинку. Яка вирізає шкіру у вигляді квадратів. Їх розташовують на обпеченій ділянці у шаховому порядку, бо шкіра має властивість рости у всіх напрямках; з часом проміжки між квадратами заростають.
В сільському господарстві використовують квадратно – гніздовий спосіб посадки культур – врожай при цьому краще; цей спосіб зручний тим, що можна використовувати механізований обробіток.

Розумова атака (розв’язування усних задач).

1. Як агроному, не виміряючи кутів чотирикутної земельної ділянки, пересвідчиться, що вона квадратна?

Розв’язання.

Мають бути рівні діагоналі і рівні сторони.

2. Як побудувати квадрат, діагональ якого дорівнює 4см.

Розв’язання.

Побудова квадрата зводиться до побудови двох перпендикулярних прямих, на яких від точки перетину відкладають чотири відрізки довжиною по 2 см; потім кінці відрізків сполучають.

3. У квадрата з діагоналями 6 см послідовно сполучили відрізками середини сторін, знайти периметр утвореного чотирикутника.

Розв’язання.

Відрізки, що сполучають  середини сторін квадрата, є середніми лініями рівнобедрених прямокутних трикутників з основами – діагоналями квадрата. За властивістю середньої лінії трикутника – вона дорівнює половині протилежної сторони (діагоналі квадрата). Тому утворений чотирикутник матиме чотири рівні сторони і його периметр буде 4·(6:2) = 12 (см).

Розв’язування  задач.                                                                                        

Задача 1. У рівнобедрений прямокутний трикутник вписано квадрат так,    

що вони мають спільний прямий кут. Знайдіть периметр квадрата, якщо

катет трикутника дорівнює 4 см.                                                                  

Розв’язання.

Розглянемо  Δ ВРС і Δ МСК . Вони рівнобедрені, бо прямокутні   з гострим  кутом  45º (кути Р і К – кути рівнобедреного трикутника за умовою)          

і мають рівні сторони РВ = ВС = СМ = МК .   Тому   Δ ВРС = Δ МСК  за двома катетами чи за катетом і гострим кутом. Отже, сторона квадрата дорівнює половині катета заданого рівнобедреного прямокутного трикутника. Периметр квадрата АВСМ - 2· 4 = 8 (см)            

Задача 2.                                                                                                  

            ABCD – квадрат. Доведіть, що MNKL  також є квадратом.                          

 

   Розв’язання.                                                            

   Розглянемо Δ МВN (∟В = 90º), Δ NСK(∟С = 90º),                  

Δ KDL(∟ D = 90º), Δ LАМ.(∟А = 90º).   ВN =СK =DL =АМ (за умовою) ;   МВ = NС = KD = LА  (як відрізки отримані в результаті віднімання від сторін квадрата рівних величин). Отже, Δ МВN = Δ NСK = Δ KDL= Δ LАМ за двома катетами. Значить, рівні і гіпотенузи, а вони є сторонами чотирикутника MNKL. Рівні також відповідні гострі кути прямокутних трикутників, а тому внутрішні кути чотирикутника MNKL дорівнюють по 90º як різниця між розгорнутим кутом і сумою внутрішніх гострих кутів прямокутних трикутників.

Отримали, що  чотирикутник MNKL має рівні сторони і кути по 90º. За властивостями квадрата - чотирикутник MNKL – квадрат.

                                                                                                                                          

У ході виступів учні задають уточнюючі запитання, проводиться корекція виступів.

 

4. Етап контрольно – оцінюючий.

Виставлення лідерами груп оцінок (у балах) учням в рейтинговій таблиці.

 

Оцінка роботи класу і окремих учнів учителем.
Усвідомлення ситуації досягнення мети, переживання ситуації успіху.

 

5. Домашнє завдання.

Придумати ребус на тему «Чотирикутники».

Скласти задачу прикладного змісту на тему «Чотирикутники».

 

Література

Пехота О.М., Кіктенок А.З. та ін.. Освітні технології. – К.; АСК, 2001.
Гузеев В.В. Планирование результатов образования и образовательная технология. – М : Народное образование, 2000.
Бабенко С.П. Усі уроки геометрії. 8 клас. – Х.: Вид. група «Основа», 2008. – 352 с. – (Серія «12 – річна школа»)
Нелін Є.П. Геометрія в таблицях: Навчальний посібник для учнів старших класів. – Х.: Світ дитинства, 1997.
 Геометрія : підруч. Для 8 кл. загальноосвіт. Навч.закл. / М.І. Бурда, Н.А.Тарасенкова. – К.: Зодіак – ЕКО, 2008. – 240 с.: іл..


Теги: чотирикутник, Казьмірова О.І.
Навчальний предмет: Геометрія
Переглядів/завантажень: 586/78


Схожі навчальні матеріали:
Всього коментарів: 0
avatar