Головна » Алгебра

Розробка уроку „Визначений інтеграл і його застосування” з математики в 11-му класі

Мета: узагальнити та систематизувати знання учнів з теми «Визначений інтеграл та його застосування»; розвивати логічне мислення учнів; показати значення математики у житті та розвитку різних наук; виховувати бачення цілісності світу.

Обладнання: плакати, рисунки.

Тип уроку: урок-конференція.

 

Хід уроку

 

І. Організаційний етап

1. Вступне слово вчителя, оголошення теми та мети уроку.

2. Історична довідка.

3. Застосування визначеного інтегралу в геометрії:

    1) обчислення площ плоских фігур;

    2) обчислення об’ємів тіл обертання.

4. Застосування визначеного інтегралу у фізиці.

5. Застосування визначеного інтегралу в економіці.

6. Підбиття підсумків уроку.

 

ІІ. Історична довідка

 

ІІІ. Застосування визначеного інтегралу в геометрії

 

1. Обчислення площ плоских фігур – І група

 

Приклад 1. Обчислити площу фігури, обмеженої:

1) синусоїдою  і відрізком  осі Ох;

2) кубічною параболою у = х3, віссю Ох та прямими х = 2 і х = 5.

Розв’язання

 

Відповідь: Sф = 152 кв.од.

Приклад 2. Знайти площу фігури, обмеженої параболою у = 4 – х2 та прямими  

Розв’язання

На відрізку [-2; 0]

а на відрізку [0; 2]

Шукану площу знаходимо як суму двох інтегралів:

 

Також площу даної фігури можна обчислити раціонально, якщо звернути увагу на те, що фігура симетрична відносно осі Оу:

Відповідь: Sф =  кв.од.

 

Приклад 3. Обчислити площу фігури, обмеженої кривими у = х2 і у = х3.

Розв’язання

 υ(х) = х3,

а = 0, b = 1

Відповідь: Sф =  кв.од.

 

Приклад 4. Обчислити площі плоских фігур, обмежених:

1) лініями  

 

Відповідь: Sф =  кв.од.

 

2) лініями у = х2; у = 4.

Знайдемо абсциси точок двох графіків: х2 = 4; х1 = -2; х2 = 2.

Побудуємо графіки і обчислимо площу фігури, звернувши увагу на те, що фігура симетрична відносно осі Оу.

 

Відповідь: Sф =  кв.од.

 

3) дугою косинусоїди  на відрізку

 

 - використали те, що фігура симетрична відносно осі Оу.

Відповідь: Sф = 4 кв.од.

 

4) лінією у = х3, віссю Ох і прямою х = 2.

Відповідь: Sф = 4 кв.од.

 

5) параболою у = 1 – х2 і віссю Ох.

Парабола перетинає вісь Ох у точках, абсциси яких є корені рівняння: 1 – х2 = 0; х2 = 1;      х1 = 1; х2 = -1.

Крім того, утворена фігура симетрична відносно осі Оу. Враховуючи це, маємо:

Відповідь: Sф =  кв.од.

 

6) параболою у = х2 і прямою у = х + 1.

Абсциси точок перетину двох графіків знайдемо з рівняння:

 

Відповідь: Sф =  кв.од.

 

7) графіком функції у = -х2 + 4 і прямою х + у = 4.

Абсциси точок перетину двох графіків знайдемо з рівняння:

 

Відповідь: Sф =  кв.од.

 

Приклад 5. Обчисліть площу плоскої фігури, обмеженої кривою у = х3 і прямими у = 1,      х = -2.

Розв’язання

1) Побудуємо фігуру, площу якої необхідно знайти.

2) Обчислимо площу фігури:

Відповідь: Sф =  кв.од.

 

Приклад 6. Обчисліть площу плоскої фігури, обмеженої кривою: параболою у = -х2 + 2 і прямою у = х.

Розв’язання

1) Будуємо фігуру, площу якої необхідно знайти:

 

2) Обчислюємо площу фігури:

Відповідь: Sф = 4,5 кв.од.

 

2. Обчислення об’ємів тіл – ІІ група

 

Задача про обчислення об’єму тіла розв’язується аналогічно до задачі про площу криволінійної трапеції.

Нехай задано тіло Т і координатна пряма Ох у просторі. Проведемо площини, перпендикулярні до прямої Ох так, щоб вони перетинали тіло Т або дотикались до нього.

 

Дотичні площини, що обмежують тіло, перетнуть вісь Ох у точках а і b, а будь-яка площина між ними перетне її в точці х. Позначимо площу перерізу тіла цією площиною через S. Кожному значенню х з відрізка [a; b] відповідатиме певне значення площі перерізу S = S(x). Площина перерізу буде відтинати тіло, об’єм якого є також функцією х, тобто V = V(x). Тому можна стверджувати, що на відрізку [a; b] визначена функція S(x). Якщо вона неперервна на відрізку     [a; b], то функція V(x) є первісною для функції S(x) і справджується формула

Розіб’ємо відрізок [a; b] на n рівних частин точками

Позначимо дожини кожного з відрізків розбиття через  де k = 1, 2, …, n. Через кожну точку розбиття проведемо площину, перпендикулярну до осі Ох. Проведені площини розіб’ють тіло Т на шари. Об’єм шару, що міститься між площинами, які проходять через точки xk-1 і xk при досить малих Δх (тобто досить великих n), наближено дорівнює добутку площі  на Δх. Якщо утворити суму:

 то  Ця наближена рівність виконується з будь-якою точністю при досить великих n. Отже, цілком природно, що

Границю такої суми, як і в задачі про площу криволінійної трапеції, називають інтегралом і позначають  Тому

 

Приклад 1. Знайти формулу об’єму кулі, радіус якої дорівнює R.

Розв’язання

 

Оскільки в перерізі кулі утворюється круг, то розмістимо її так, щоб точка О відліку збігалася з проекцією центра О1 кулі на координатну пряму.

З ΔО1КР, де  за теоремою Піфагора, КР2 = О1Р2 – О1К2. Оскільки О1Р = R,  О1К = х, КР = r – радіус круга, який утворюється в перерізі, то  а  Отже,

Відповідь:

 

Приклад 2. Знайти формулу об’єму кругового циліндра з площею основи S і висотою Н.

Розв’язання

У кругового циліндра (похилого чи прямого) будь-яка площа паралельних перерізів стала і дорівнює S. Тому координатну пряму Ох проведемо перпендикулярно до площини основи, а точку відліку виберемо в точці її перетину з площиною основи. Вісь Ох перетне площину другої основи в точці Н, де Н – висота циліндра. Тоді

Отже, об’єм циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту: V = SH.

Ця формула підходить і для похилого, і для прямого кругового циліндра.

 

Приклад 3. Знайдіть формулу об’єму тіла обертання, а потім за її допомогою обчисліть об’єм прямого кругового конуса, радіуса основи якого дорівнює R, а висота – Н.

Розв’язання

Рис. а

 

1) Розглянемо криволінійну трапецію аАВb, обмежену графіком неперервної функції  (рис. а).

Під час обертання трапеції навколо осі Ох утвориться тіло обертання. Будь-яким перерізом тіла обертання є круг радіусом . Площа перерізу  тому об’єм тіла обертання знайдемо за формулою

2) Для того щоб знайти об’єм прямого кругового конуса, треба спочатку знайти рівняння прямої ОВ, що проходить через точки О (0; 0) і В (Н; R). З курсу геометрії відомо, що рівняння прямої має вигляд (рис. b).

Оскільки точки О і В належать цій прямій, то їх координати задовольняють рівняння прямої. Підставляючи координати в рівняння, дістанемо дві рівності:

Звідси ,

Підставимо значення а і с у рівняння прямої. Дістанемо:

Звідси рівняння прямої ОВ.

Отже, , а  тобто об’єм конуса дорівнює одній третій добутку площі основи  на висоту Н:

Рис. b

 

Приклад 4. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої синусоїдою і прямими х = 0,

Розв’язання

 

Відповідь:

 

Приклад 5. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої прямими: у = 2х, х = 0, у = 5.

Розв’язання

 

Отже,  і

Відповідь:

 

Приклад 6. Знайти об’єм тіл, які утворені обертанням відрізка параболи у = х2,  навколо осі Ох і Оу.

Розв’язання

(рисунок)

 

1. Об’єм тіла обертання відносно осі Ох розраховуємо за формулою:

2. Для знаходження об’єму тіла обертання відносно осі Оу залежність  замінюємо на залежність  де

Відповідь:  

 

Приклад 7. Знайти об’єм кулі радіусом R. Куля утворюється в результаті обертання півкола навколо осі, яке має діаметр. Рівняння півкола з центром в точці (R; 0) і діаметром, який має вісь Ох, має вигляд

Розв’язання

(рисунок)

 

Об’єм кулі, отриманої в результаті обертання півкола, обмеженого колом, дорівнює:

Відповідь:

 

3. Застосування визначеного інтегралу у фізиці – ІІІ група

 

1. Обчислення шляху за відомим законом зміни швидкості

 

Раніше було встановлено, що  є первісною для функції , яка виражає закон зміни швидкості. Оскільки шлях, який пройде тіло за інтервал часу від t1 до t2, є приростом функції  (приріст первісної), який виражається через інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца, то  за умови, що функція  неперервна.

 

Приклад 1. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю, яка змінюється за законом v = 2t + 1 (м/с). Знайти шлях, який пройшло тіло за інтервал часу від t1 = 1 с до t2 = 3 с.

 

Розв’язання

Відповідь: s = 10 м.

 

Приклад 2. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v(t) (м/с). Обчислити шлях, пройдений тілом за інтервал часу від t1 до t2, якщо    

Розв’язання

Відповідь:

 

2. Обчислення роботи змінної сили

 

Нехай тіло, що розглядається як матеріальна точка, рухається під дією змінної сили F(x), напрямленої вздовж осі Ох. Знайдемо формулу для обчислення роботи при переміщенні тіла з точки х = а у точку х = b.

Нехай А(х) – робота при переміщенні тіла з точки а у точку х. Надамо х приросту . Тоді  - робота, яка виконується силою F(x) при переміщенні тіла з точки х у точку  Коли  силу F(x) на відрізку  вважатимемо сталою, що дорівнює F(x). Тому  Звідси

Тоді  або, за означенням похідної,

Остання рівність означає, що А(х) є первісною для функції F(x). Тоді, за формулою Ньютона-Лейбніца,

оскільки А(а) = 0.

Отже, робота змінної сили F(x) при переміщенні тала з точки а в точку b дорівнює

 

Приклад 3. Обчислити роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з ями глибиною 4 м, що має квадратний переріз зі стороною 2 м. Густина води ρ = 103 кг/м3.

Розв’язання

Спрямуємо вісь Ох вздовж діючої сили. Значення сили F(x), що діє на переріз прямокутного паралелепіпеда площею 4 м2, визначається вагою шару води, що знаходиться вище від цього перерізу. Отже,

 де   м/с.

Відповідь: А = 3,1 · 105 Дж.

 

Приклад 4. Обчислити роботу, яку треба виконати, щоб викачати  воду з циліндричної цистерни, радіус якої дорівнює R, а висота – Н.

Розв’язання

F = mg;                m = ρV

V = Sосн · H;                  V = πR2H

 де

Відповідь:  (Дж).

 

Приклад 5. Обчислити роботу, яку треба виконати, щоб розтягнути пружину на 0,06 м, якщо сила 12 Н розтягує її на 0,01 м.

В к а з і в к а. За законом Гука, сила F пропорційна розтягуванню або стисканню пружини, тобто F = kx, де  х – величина розтягування або стискання. З умови задачі можна знайти k. Оскільки при х = 0,01 м сила F дорівнює 12 Н, то  Отже, F = kx = 1200x.

Розв’язання

Відповідь: А = 2,16 Дж.

 

3. Обчислення маси неоднорідного стержня

 

За означенням, лінійна густина ρ неоднорідного стержня дорівнює похідній функції m = m(l), що виражає масу стержня як функцію його довжини. Отже, ρ = m’(l), тобто функція m = m(l) є первісною для ρ = ρ(l). Звідси випливає, що масу стержня на відрізку [l1; l2] можна обчислити за формулою

 

Приклад 6. Знати масу стержня завдовжки 35 см, якщо його лінійна густина змінюється за законом

Розв’язання

Відповідь: m = 1,3 кг.

 

Приклад 7. Знайти масу неоднорідного стержня завдовжки 40 см, якщо його лінійна густина змінюється за законом

Розв’язання

Відповідь: m = 0,44 кг.

4. Обчислення кількості електрики

 

За означенням, сила струму є похідною від кількості електрики Q = Q(t), де t – час, тобто I(t) = Q’(t). А тоді функція Q = Q(t) є первісною для функції І = І(t), тому кількість електрики, що проходить через поперечний переріз провідника за час від t1 до t2, можна обчислити за формулою

 

Приклад 8. Знайти кількість електрики, що проходить через поперечний переріз провідника за 10 с, якщо сила струму змінюється за законом

Розв’язання

Відповідь: Q = 210 Кл.

 

Приклад 9. Знайти кількість електрики, яка проходить через поперечний переріз провідника за 20 с, якщо сила струму змінюється за законом

Розв’язання

Відповідь: Q = 420 Кл.

 

4. Застосування визначеного інтегралу в економіці – ІV група

 

Попит на даний товар – залежність між ціною товару і об’ємом його покупки, що склалася на певний момент часу. Попит на окремий товар графічно зображається у вигляді кривої з від’ємним нахилом, що відображає взаємозв’язок між ціною Р одиниці цього товару і кількістю товару Q, яку споживачі готові купити при кожній заданій ціні. Від’ємний нахил кривої попиту має очевидне пояснення: чим дорожчий товар, тим менша кількість товару, яку покупці готові купити, і навпаки.

Аналогічно визначається і інше ключове поняття економічної теорії – пропозиція товару: залежність між ціною і кількістю запропонованого для продажу товару, що склалася на певний момент часу. Пропозиція окремого товару зображається графічно у вигляді кривої з позитивним нахилом, що відображає взаємозв’язок між ціною одиниці цього товару Р і кількістю товару Q, яку споживачі готові продати при кожній ціні.

І нарешті, введемо ще одне поняття, що відіграє велику роль в моделюванні економічних процесів – ринкову рівновагу. Стан рівноваги характеризують такі ціна і кількість товару, при яких об’єм попиту співпадає з величиною пропозиції, а графічно ринкова рівновага зображається точкою перетину кривих попиту і пропозиції.

Споживацький надлишок – явище в економіці, яке викликане перевищенням пропозиції даного товару над його попитом.

Споживацький надлишок можна розрахувати за наступною формулою:

 

Задача 1. Відомо, що попит на деякий товар задається функцією  де q – кількість товару (шт.), р – ціна за одиницю товару (грн.), а рівновага на ринку даного товару досягається при р* = q* = 1. Визначте величину споживацького надлишку.

Розв’язання

Відповідь:

 

Задача 2. Відомо, що попит на деякий товар описує функція  а пропозиція даного товару характеризується функцією  Знайдіть величину надлишку споживача при придбанні даного товару.

Розв’язання

Для розрахунку надлишку споживача спочатку з’ясуємо параметри ринкової рівноваги   (р*; q*). Для цього розв’яжемо систему рівнянь:

Таким чином, р* = 2, q* = 1000.

Запишемо формулу для обчислення споживацького надлишку, де  функція, обернена до функції  тобто

Відповідь:

 

Задача 3. Відомо, що попит на деякий товар задається функцією  пропозиція – функцією  Визначте величину виграшу споживача при придбанні даного товару.

Розв’язання

Виграш споживача є не що інше, як споживацький надлишок. Для того, щоб знайти його, визначимо спочатку рівноважні значення кількості товару і його ціни, розв’язавши для цього систему:

Розв’яжемо перше рівняння системи.

Враховуючи, що  отримаємо q* = 10. Значить, р* = 10 + 11 = 21. Тоді

Так само визначається надлишок виробника. Не вдаючись в деталі, зазначимо, що надлишок виробника представляє собою різницю між тою грошовою сумою, за яку він був би готовий продати Q* одиниць товару, і тою сумою, яку він дійсно отримує при продажі цієї кількості товару. Графічно він може бути представлений площею фігури, обмеженої кривою пропозиції, віссю цін і прямою, паралельною осі абсцис, що проходить через точку ринкової рівноваги.

 

Очевидно, що

 

Розглянемо, як отримана функція може бути застосована при рішенні задач.

 

Задача 4. Відомо, що крива пропозиції деякого товару має вигляд р = 43 + 2, а рівновага на ринку даного товару досягається при об’ємі продаж Q* = 3. Визначте додаткову вигоду виробника при продажі такої кількості продукції.

Розв’язання

Спочатку з функції пропозиції знайдемо рівноважне значення ціни

Підставимо отримане значення в формулу:

 

Ми розглянули, як визначаються надлишки споживача і виробника. Зазначимо, що сума цих двох надлишків – площа заштрихованої фігури – характеризує загальний ефект виробництва і споживання на розглянутому ринку.

 

Але абсолютні значення PS і CS представляють собою невеликий інтерес для економістів. Їх більше хвилює відповідь на питання, як і на скільки зміниться надлишок споживача в результаті проведення того чи іншого заходу державної політики, що впливає на рівновагу на ринку, особливо, при встановленні податків, введені субсидій і т.д.

Припустимо, наприклад, що товар обкладається податком у розмірі t на одиницю товару, тоді його ціна збільшиться з Р1 до Р2 (Р2 = Р1 + t).

Вплив даного податку на благополуччя споживача характеризує ситуація, представлена на рис.

 

Таким чином, отримаємо, що ΔCS – зменшення благополуччя споживача, що оцінюється за допомогою споживацького надлишку, є різницею площ двох фігур, відповідних CS1 і CS2 і по формі нагадує трапецію, площа якої, в свою чергу, дорівнює сумі площ фігур Т1 і Т2, тобто  де ST1 вимірює втрати надлишку споживача, визвані збільшенням ціни за одиницю товару на розмір податку і дорівнює tQ2, а ST2 вимірює втрати благополуччя споживача, пов’язані зі зменшенням кількості спожитого товару (Q2 < Q1), і дорівнює:

Таким чином, для випадку введення по товарного податку в розмірі t маємо:

В загальному же випадку результат зміни споживацького надлишку внаслідок збільшення ціни на товар може бути записаний, наприклад, в наступному вигляді:

 

Розглянемо приклад оцінки наслідків введення по товарного податку.

 

Задача 5. Дана крива попиту  Які грошові втрати споживача при введені на даний товар податку з одиниці продаж в розмірі 1 грн., якщо відомо, що спочатку ринкова рівновага на даному ринку спостерігалась при ціні Р1 = 2 грн.?

Розв’язання

Дану задачу можна розв’язати різними способами. Проаналізуємо основні з них.

1-й спосіб заснований на використанні формули (3) для обчислення ΔCS.

Для визначення споживацьких втрат при збільшенні рівноважної ціни товару з 2 грн. до      3 грн. подивимось, як при цьому змінюється об’єм продаж. Якщо Р1 = 2, то Q1 = 16, при Р2 = 3,    Q2 = 14. Значить,

Відповідь: 15 грн.

2-й спосіб. Так як в даному випадку функція попиту лінійна, то розглянуту ситуацію легко представити графічно.

 

Відповідь: 15 грн.

 

Розглянутий нами спосіб оцінки наслідків мір економічної політики широко використовується на практиці. Так, при підготовці до податкових реформ економісти розраховують зміни споживацьких надлишків в залежності від різних варіантів оподаткування, зупиняються на тих варіантах, котрі викликають найменше скорочення споживацьких надлишків.

 

Задача 6. Експериментально встановлено, що продуктивність праці робітника наближено виражається формулою  де t – робочий часу годинах. Обчислити обсяг випуску продукції за квартал, вважаючи робочий день восьмигодинним, а кількість робочих днів у кварталі – 62.

 

Розв’язання

Обсяг випуску продукції протягом зміни є первісною від функції, що виражає продуктивність праці. Тому  Протягом кварталу обсяг випуску продукції становитиме:

Відповідь: 10 185 (од.)

 

Задача 7.  Експериментально встановлено, що залежність витрати бензину автомобілем від швидкості на 100 км шляху визначається формулою  де  Визначити середню витрату бензину, якщо швидкість руху 50-60 км/год.

Розв’язання

Середня витрата бензину становить:

Отже, автомобіль на 100 км шляху, рухаючись зі швидкістю 50-60 км/год, витрачає в середньому 10,6 л бензину.

Відповідь: 10,6 л.

 

ІV Підсумок уроку

 

V Домашнє завдання Підготуватися до контрольної роботи.


Теги: інтеграл, Щербакова А.С.
Навчальний предмет: Алгебра
Переглядів/завантажень: 224/39


Схожі навчальні матеріали:
Всього коментарів: 0
avatar