Головна » Алгебра

Розробка уроку «Послідовності. Арифметична й геометрична прогресії» з алгебри в 9-му класі

Пропоную уроки узагальнюючого повторення в 9 класі за темою «Числові послідовності. Прогресії».

Їх можна провести на протязі трьох уроків. На першому уроці повторити весь теоретичний матеріал, який стосується арифметичної і геометричної прогресій: формули n –го члена, суми n перших членів, характеристичні властивості і розв’язати задачі середнього і достатнього рівня. На другому уроці провести урок – практикум, на якому учні отримують завдання різного рівня складності, самостійно розв’язують задачі і демонструють їх розв’язання  і на третьому уроці розглядаються розв’язання задач підвищеної складності.

Окремі  фрагменти уроків можна використовувати при вивченні даної теми.

 

Урок

Тема. Числові послідовності. Прогресії.

Мета: повторити, узагальнити і систематизувати теоретичні знання учнів за темою  «Числові послідовності. Прогресії»; повторити, узагальнити і систематизувати методи розв’язування базових задач за темою.

Тип уроку: урок повторення, узагальнення і систематизації знань.

Обладнання. Таблиця «Числові послідовності. Прогресії».

 

Хід уроку

I. Організаційний момент.

II. Перевірка домашнього завдання.

 

Чергові повідомляють про наявність домашнього завдання.

 

III. Актуалізація опорних знань.

1а. Повторення основних правил і формул (робота з таблицею «Прогресії», яка роздається учням )

 

Числові послідовності. Прогресії.

 

1. Числовою послідовністю називається числова функція, областю визначення якої є множина натуральних чисел.

 

Арифметична прогресія

Геометрична прогресія

Означення

Арифметичною прогресією називається послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додають одне й те саме число.

d – різниця арифметичної прогресії, d = an+1 – an,

a1 – перший член,

 n – число членів,

 an – n – й член

Геометричною прогресією називається послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену,помноженому на одне й те саме число.

q ≠ 0 – знаменник геометричної прогресії, q = ,

b1 ≠ 0 - перший член,

n - число членів,

bn  -  n – й член            

Формула n - го члена

an=a1+d(n-1) (n³2);

 

1б. Усні вправи.

1. Із поданих нескінченних послідовностей вибрати ті, які є прогресіями. Вказати  її вид, перший член, різницю чи знаменник, визначити зростаючими чи спадними  будуть знайдені прогресії.

а) 2, 6, 18, 54, …

 

б)  2, –2, 2, –2, …

 

в) 8, 8, 8, 8, …        

г) 2, 22. 23, 24,…          

д) 7, 4, 1, -2, …         

є) , …

ж) 1,2,3,5,8,…    

 

2. Чи можна вказати  послідовності, які є одночасно арифметичними и геометричними прогресіями? (Так, наприклад: 5; 5;5;5;…, d=0,  q = 1).

 

3. Послідовність a1, a2, a3,... утворює арифметичну прогресію. Чи буде арифметичною прогресією послідовність  |a1|, |a2|, |a3|,...?  (Ні). Наведіть приклад.

 

4.  Послідовність a1, a2, a3,... утворює геометричну прогресію. Чи буде геометричною прогресією послідовність |a1|, |a2|, |a3|,...?  (Так). Наведіть приклад.

 

5.  Чи існують такі три числа, які одночасно є першими членами деякої арифметичної і деякої геометричної прогресій? (Такі числа можуть бути тільки рівними).

 

6.   Чи можуть сторони прямокутного трикутника утворювати:

а)  арифметичну прогресію; (Так). Наведіть приклад.

б)   геометричну прогресію?  (Ні).

7. В арифметичній прогресії ( an )   1; 3;  5;  7, …   знайти  d,  a1,  a5,  S5.

8. В геометричній прогресії  ( bn)  -2; 8; -32; 128, … знайти q, b1, b5, S3.

9.   В геометричній прогресії  (bn) b6 = 8, b8 = 18.  Знайти b7.  ( 12 ).

10. Сума восьмого і двадцятого членів арифметичної прогресії дорівнює 48. Знайдіть чотирнадцятий член прогресії. (24).

11. Назвати 4 перших члени послідовності, заданою формулою.

а) аn = 2n – 1;   б) аn = ( - 2)n;    в)  аn = ;    г)  аn = .

 Відповідь:  а) 1; 3; 5; 7;      б) -2; 4; -8; 16;       в) 2; 2; ; 4;         г)

1в. Корекція базових знань і вмінь. Робота в парах.

Кожній парі дається завдання на встановлення відповідностей. Вчитель контролює і перевіряє.

 

1. В арифметичній прогресії ( an ):

1) а1 = -11, d = 2,  a17 -?                                    А) 1;

2) а25 = 60, d = -3, а1 -?                                     Б)  2;

3) а1 = -18, а39 = 58, d -?                                   В) 77;

4) аn = 312, а1 = 8, d = 4; n -?                           Г) 21;

5) а1 = 11, d = 4, S5 -?                                       Д) 95;

                                                                            Є) 132.

Відповідь: 1Г,   2Є,  3Б,   4В,   5Д

 

2. В геометричній прогресії ( bn ):

1) b4 = 10, b5 = 30, q -?                                А) -3;

2) b1 = 2, q = 3, b5 -?                                    Б) 2;

3) b6 = 486, q = 3, b1 -?                                В) 3;

4) b1 = 2, b4 = -54, q -?                                 Г) 63;

5) b1 = 5, q = 2, n = 5, Sn  - ?                        Д) 162;

                                                                       Є) 155.

Відповідь:  1В,   2Д,   3Б,   4А,    5Є.

 

IV. Вдосконалення вмінь і навичок.

 

Учитель пропонує набір задач середнього і достатнього рівня складності, під час розв’язування яких слід скористатись основними формулами чи рівностями. Учні визначають опорну властивість прогресії і  складають алгоритм розв’язання задач.

 

Задача 1

1. Який номер має перший від'ємний член арифметичної прогресії 10,5;   9,8;  9,1; …

 

Алгоритм розв’язання.

1. Знайти різницю прогресії d.  (d = 9,8 – 10,5 )

2. Застосовуючи формулу  n – го члена an=a1 + d(n-1), розв’язати нерівність

 an < 0.

 

Відповідь:  17

 

Задача 2

2. В арифметичній прогресії а1 = 32, d = -1,5. Чи є членом цієї прогресії число -28? 

 

Алгоритм розв’язання.

1. Знайти різницю прогресії d.  (d = -9,8 – (-10,4 )).

2. Застосовуючи формулу  n – го члена an=a1 + d(n-1), знайти n.

Відповідь:  Так,   n = 41

 

Задача 3

3. Скільки додатних членів містить арифметична прогресія  40;  37;  34; …?

 

Алгоритм розв’язання.

1. Знайти різницю прогресії d.  (d = 37-40 )

2. Застосовуючи формулу  n – го члена an=a1 + d(n-1), розв’язати нерівність

 an > 0 і знайти n.

Відповідь:  14

 

Задача 4

4.Знайдіть суму десяти перших членів арифметичної прогресії (an ), якщо

 а1 = 14,  а4 = 23.

 

Алгоритм розв’язання.

1. Знайти різницю прогресії d,  застосовуючи формулу  n – го члена

 an=a1+d(n-1).

 2. Застосовуючи формулу  суми n членів Sn = , знайти Sn.

Відповідь:  275

 

Задача 5

5. Обчисліть суму п’яти перших членів  геометричної прогресії (bn), якщо b5 = 112, а знаменник прогресії q = 2.

 

Алгоритм розв’язання.

1. Знайти перший член геометричної прогресії Застосовуючи формулу    n – го члена .

2. Застосовуючи формулу  суми n членів Sn = , знайти Sn.

Відповідь:  217

 

Задача 6

6. Чому дорівнює сума семи перших членів геометричної прогресії (bn ), якщо  b1 = 6, b6 = 192?

 

Алгоритм розв’язання.

1. Знайти знаменник геометричної прогресії, застосовуючи формулу    n – го члена .

2. Застосовуючи формулу  суми n членів Sn = , знайти Sn

Відповідь:  762

 

Задача 7

7. Перший член арифметичної прогресії дорівнює   -4, а її різниця дорівнює 2. Скільки треба взяти перших членів прогресії, щоб їх сума дорівнювала 84? 

 

Алгоритм розв’язання.

1. Застосовуючи формулу  суми n членів Sn = , знайти n.

Відповідь:  12

 

V. Підсумок уроку.

 

VI. Домашнє завдання.

1) Повторити орієнтовний план розв’язування задач на прогресії.

2) Розв'язати задачі, до яких були складені алгоритми розв’язання.

 

Урок

 

Тема. Розв'язування задач за темою «Арифметична та геометрична прогресії».

Мета: повторити і перевірити знання учнями основних формул за темою; закріпити вміння і навички учнів застосовувати теоретичний матеріал при розв’язування задач. Закріплення навичок і вмінь учнів самостійно застосовувати набуті знання при розв’язування задач.

Тип уроку: узагальнення і систематизація знань  в ході.

 

Хід уроку.

 

I. Організаційний момент.

II. Перевірка домашнього завдання.

 

1. Відповісти на питання учнів, які виникли при виконанні домашнього завдання.

2. Учні називають відповіді до завдань, до яких були складені алгоритми на попередньому уроці.

3. Повторити орієнтовний план розв’язування задач на прогресії.

План може бути таким.

Все, про що йдеться в умові задачі ( члени прогресії, їх суми тощо ) виражаємо через перший член і різницю ( або знаменник ) прогресії.
Складаємо рівняння ( або систему рівнянь ) за умовою задачі.
У випадку, коли в задачі відбувається перехід від геометричної прогресії до арифметичної і навпаки, для складання рівнянь звичайно використовують характеристичні властивості прогресій.

 

III. Актуалізація опорних знань.

 

Робота з карткою формул.

 

Кожному учневі пропонують картку для перевірки знання формул. Учні вписують на аркуші своє прізвище та серед запропонованих формул вибирають правильні, записують їхній номер і здають вчителю. Після чого виконується самоперевірка.

 

IV. Робота в групах.

Клас поділено на групи різнорівневого складу. Кожна група отримує завдання. Час на його виконання – різний. Найбільше часу отримують групи сильних учнів та групи слабких учнів, оскільки і одним, і другим для розв’язання своїх задач часу потрібно більше. Групи змішаного складу, справившись зі своїм завданням, починають його захист біля дошки, а пізніше уважно слухають такий же захист представників сильної групи.

        

Під час розв’язування задач вчитель уважно стежить за роботою слабких груп і при потребі допомагає їм. Коли звільняються учні сильної групи, то вони продовжують працювати з цими групами.

 

Для економії часу задачі, запропоновані групі сильних учнів, розв’язуються на комп’ютерах або на папері формата А1, а їх розв’язання вивішуються на дошку. При цьому всі кроки розв’язання детально коментуються.

 

a) Для групи слабких учнів

 

1. В арифметичній прогресії а1 = 10,  d = 3. Знайдіть а25.

Відповідь:   82

                  

2. В арифметичній прогресії відомі перший член а1 та різниця d. Знайдіть суму її перших членів Sn, якщо: a1 = 8, d = 5, n = 20.

Відповідь:           1110

 

3.Знайти різницю арифметичної прогресії, якщо а1 = 7, а16 = 67.

Відповідь:           4

 

4. Знайти перший член арифметичної прогресії, якщо а11 = 20, d = -3.

Відповідь:  50

 

5.В геометричній прогресії b1 = 2, q = -3. Знайдіть b4.

Відповідь:  -54

 

6.Знайдіть суму шести перших членів геометричної прогресії:  3;    -6;   …

Відповідь:  33

 

б) Для групи змішаного складу (їх може бути декілька)

 

1 група

1. Дана арифметична прогресія  - 3,6;  - 3,3; - 3; … починаючи з якого номера її члени будуть додатними?

Відповідь:  з 14-го члена

 

2.Обчислити суму десяти перших членів арифметичної прогресії (an), якщо

 а6 = 45, а14 = - 43.       

Відповідь:  505

 

3.Між членами –3 та 11 вставити шість таких чисел, щоб вони разом з даними числами утворювали арифметичну прогресію.

Відповідь:   -3; -1; 1; 3; 5; 7; 9; 11

 

4.Знайти суму всіх натуральних чисел, що кратні 8 і не більші за 210.

Відповідь:  2808

 

2 група

1. Скільки додатних членів містить арифметична прогресія 4,6; 4,2; 3,8;…? Відповідь:  12

 

 2. Арифметична прогресія задана формулою загального члена an = - 2n + 1. Знайти S38.

Відповідь:   - 1444

 

  3. Перший член арифметичної прогресії дорівнює -5, різниця її дорівнює 6. Скільки членів цієї прогресії треба взяти, щоб їхня сума дорівнювала 1040?

Відповідь:  20

 

4. Знайти суму всіх парних натуральних чисел від 20 до 50 включно.

Відповідь:  560

 

в) Для групи сильних учнів

 

1. Знайдіть перший член геометричної прогресії, яка складається з шести членів, якщо сума трьох перших її членів дорівнює 168, а сума трьох останніх дорівнює 21.

Відповідь:  96

 

2.При якому значенні х значення виразів 3х – 2, х + 2 і х + 8 є послідовними членами геометричної прогресії? Знайдіть члени цієї прогресії.

Відповідь:  а) якщо х = -10, то   (bn ):     -32; -8; -2;

                    б) якщо х = 1, то (bn ):     1; 3; 9.

 

3. Знайдіть суму нескінченної спадної геометричної прогресії (bn), якщо

b1 + b3 = 20  i  b2 + b4 = .

Відповідь:  27

 

4. Сума перших членів арифметичної прогресії обчислюється за формулою

 Sn = n2+3n. Знайдіть шостий член цієї прогресії.

Відповідь:  14

 

IV. Підсумок уроку.

 

1. Підбиття підсумків роботи в групах.

 

V. Домашнє завдання. Скласти тестові завдання за темою «Арифметична та геометрична прогресії».

 

 

Урок

Тема. Розвязування задач підвищеної складності за темою «Арифметична та геометрична прогресії».

Мета: удосконалити вміння та навички учнів розв’язувати задачі за темою у нестандартних ситуаціях, розвивати творчість учнів у завданнях підвищеного рівня. Застосувати математичні знання під час розв’язання прикладних задач.

Тип уроку: вдосконалення вмінь та навичок.

 

Хід уроку

I. Організаційний момент.

II. Перевірка домашнього завдання.

 

Перевірити наявність тестів, які учні склали вдома.

 

ІII. Вступна бесіда

Ми навчилися розв’язувати типові задачі на застосування формул арифметичної та геометричної прогресій. Сьогодні на уроці ми будемо розв’язувати задачі підвищеної складності за даною темою.

Повідомлення теми, мети уроку.

 

IV. Розв'язування задач.

 

Далі, якщо залишається час, можна розв’язати задачі прикладного змісту або дати, як домашнє завдання.

 

Задача 1. Тіло, що вільно падає (на опір повітря не зважати), за першу секунду падіння проходить 4,9 м, а за кожну наступну – на 9,8 м більше, ніж за попередню. Який шлях пройде тіло за 11-ту секунду, а за 11 секунд?

Задача 2. Скільки ударів зробить годинник протягом доби, якщо він відбиває тільки число цілих годин від 1 до 12?

Задача 3. Визначити число сторін многокутника, у якого число градусів, що міститься у послідовних внутрішніх кутах його, становить арифметичну прогресію з першим членом 120о і різницею 5о.        [9; 16]

Задача 4. За скільки годин велосипедист проїде 54 км, якщо за першу годину він проїжджає 15 км, а за кожну наступну годину на 1 км менше, ніж за по- передню.

Задача 5. Колоди складено в купу в такий спосіб: у нижньому шарі укладено 15 колод, колоди другого шару укладені у проміжки нижнього шару і т.д. останній ряд становить одну колоду. Визначити число колод у цій купі.

Задача 6. Куля, що рухається по похилій площині, проходить за першу секунду 0,5 м, а кожної наступної секунди – на 0,8 м більше, ніж за попередню. Знайти відстань, яку пройшла куля протягом 10 секунд.

 

V. Підсумок уроку.

 

VI. Домашнє завдання.

 

1) Знайти в додатковій літературі  не менше трьох задач прикладного змісту на застосування формул арифметичної і геометричної прогресій.

2) Учні обмінюються складеними вдома тестовими завданнями для взаємоперевірки.

 

Використана література

1. Є.П.Нелін. Математика. Експрес – підготовка. ЗНО – 2010: «Літера ЛТД», 2010.

2. Криворізька гімназія № 127.Різнорівневі завдання  з теми «Арифметична прогресія».

3. Ю.І. Мальований. Алгебра 9 клас. Підручник для загальноосвітніх закладів. Тернопіль. Навчальна книга – Богдан.

4. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: 9 – й кл. / А.Г. Мерзляк [та ін.]; за ред.. М.І Бурди. – К.: Центр навч. – метод.

л – ри, 2014.

5. Сборник задач по математике для поступающих в вузы под. ред. М.И.Сканави. – М.: «ОНИКС 21 век»: 2002.


Теги: Давиденко Т.В., прогресії
Навчальний предмет: Алгебра
Переглядів/завантажень: 1236/45


Схожі навчальні матеріали:
Всього коментарів: 0
avatar