Головна » Алгебра

Розробка уроку «Арифметична та геометрична прогресія» з алгебри в 9-му класі

Мета. Ввести поняття арифметичної та геометричної прогресій, вивести формули їх загального члена та суми п-перших членів прогресій, з’ясувати їх характеристичну властивість. Розвивати логічне  мислення. Показати учням практичне застосування знань про прогресії. Виховувати інтерес до предмету.

Тип уроку: урок формування нових знань

Обладнання: ноутбук, проектор, екран

 

Хід уроку

І. Організаційний момент

ІІ. Вступне слово вчителя

Ми живемо у третьому тисячолітті, але досягнення науки і техніки дають нам можливість за допомогою машин часу повертатися у друге тисячоліття до нової ери. Вже у папірусі, який складено близько 2000 років до н.е., знаходять задачу про нагородження винахідника шахів, задачу про купівлю коня та багато інших цікавих задач із великими числами. До таких задач і ми з вами звернемося.

ІІІ. Вивчення та засвоєння нового матеріалу

Задача з великими числами. Легенда «Вигідна угода»

Зустрічаються мільйонер і незнайомець

Незнайомець: Бачу, ти багатий чоловік. Давай укладемо з тобою таку угоду. Я буду цілий місяць щодня тобі приносити по 100000 гривень. Не за даром, звичайно, але плата невелика. У перший день ти заплатиш мені 1 копійку.

Мільйонер:Що ти говориш? Я вухам своїм не вірю. Одну копійку?

Незнайомець: Одну копійку. Другого дня ти заплатиш мені дві копійки, третього – чотири копійки, четвертого – вісім копійок. І так цілий місяць, кожного дня вдвічі більше, ніж за попередній.

Мільйонер: І потім що?

Незнайомець: Все, більше нічого. Тільки чітко дотримуватися угоди. Але раніше, як через місяць, угоду розривати не смій!

Вони розійшлися.

Мільйонер: Оце так удача! І справді, гроші на гроші біжать. Моїй радості немає краю!

Показати 2–3 дні, як вони обмінюють копійки на пачки по 100000 грн.

Далі учитель демонструє результат угоди:   (слайд 1)

1-й день                         100 000 грн.                       1 коп.

2-й день                         100 000 грн.                       2 коп.

3-й день                         100 000 грн.                       4 коп.

……………………………………………………………………………..

10-й день                       100 000 грн.                       10 грн. 12 коп.

…………………………………………………………………………….

28-й день                       100 000 грн.                        1 342 177 грн. 28 коп.

29-й день                       100 000 грн.                        2 684 354 грн. 56 коп.

30-й день                       100 000 грн.                        5 368 709 грн.12 коп.

30 ·100 000 грн. =3 000 000 грн.                             10 737 418 грн. 23 коп.

 

Чи міг подумати жадібний мільйонер, що йому доведеться платити більше ніж отримувати?  Але угоду розривати не можна було…

Багатьом здається, що математика, це така наука, яка не має жодного зв’язку з природою, тваринним світом. Насправді, жива природа теж живе за математичними законами. Ми знаємо, наприклад, симетрію, можемо навести багато прикладів симетрії в природі. Прогресії теж знаходять своє місце в живому світі.

Швидке розмноження (про маківки і кульбаби)

Достигла маківка повна крихітних зернинок: з кожної може вирости ціла рослина. Скільки ж буде маків, якщо зерна всі до одного проростуть? Щоб узнати це, потрібно полічити зернинки у цілій маківці. Нудне заняття, але виявляється, що одна маківка містить 3 000 зернинок.

Що звідси випливає? Те, що коли б навколо нашої макової рослини була достатньо велика площа землі, то кожна зернина, яка впала, проросла б, і наступного року на цьому місці виросло б вже 3 000 маків. Ціле поле з однієї маківки!

Кожна з 3 000 рослин дасть не менше однієї маківки, яка містить 3 000 зернинок. Отже, на другий рік, прорісши насіння кожної маківки дасть по 3 000 нових рослин. На другий рік, буде 3 000 · 3 000 = 9 000 000 рослин.

На третій рік 9 000 000 · 3 000 =27 000 000 000 рослин.

На четвертий рік 27 000 000 000 · 3 000 = 81· 1012.

На п’ятий рік рослинам стане тісно на Землі, оскільки число рослин дорівнюватиме 81· 1012 · 3 000 = 243 · 1015.

Поверхня суші, тобто усіх материків та островів земної кулі становить лише 135 · 1012 м², приблизно в 2 000 разів менше, ніж виросло б екземплярів маку.

Ви бачите, коли б усі зернинки маку проростали, то потомство однієї рослини могло б за 5 років укрити всуціль усю земну кулю густою заростю по 2 000 рослин на 1 м².

Зробити подібний розрахунок можна не лише для маку, а й для будь-якої іншої рослини, яка має меншу кількість насінин.        (слайд 2)

В дійсності ми цього не спостерігаємо, чому?

(частина рослин гине, не прорісши, частина рослин глушиться іншими рослинами, частина знищується людьми та тваринами)

Швидке розмноження вірне і для тваринного світу. Кімнатна муха відкладає 120 яєчок. Протягом літа встигає з´явитися 7 поколінь мух, половина з яких – самиці. За літо від однієї пари мух було б  3,6 · 1014 мух.

Щоб уявити скільки це, то припустимо, що вони вишикувалися у пряму лінію одна біля одної. Тоді б мухи зайняли відстань у 2 500 мільйонів кілометрів - це відстань  від Землі до далекої планети Уран.

 

Справжній випадок

В Америці спочатку не було горобців. Такий звичайний для нас птах був завезений у США для знищення шкідливих комах. Як відомо, горобці поїдають гусінь та шкідливих комах для садів та городів. Оточення сподобалося горобцям: в Америці не було хижаків, які б знищували горобців і вони швидко розмножувалися. Шкідників зменшувалося, а горобців стало так багато, що не вистачало їм гусениць і вони перейшли на рослинну їжу та почали знищувати посіви. Довелося вступити американцям у боротьбу з горобцями. Це коштувало так дорого, що надалі було видано закон, який забороняв ввозити в країну будь-яких тварин.

Чому мова йде про таку велику кількість грошей, що віддав мільйонер, про таку кількість маків, кульбаб, горобців? Звідки беруться такі величезні числа? А про все це ми дізнаємося вивчаючи арифметичну та геометричну прогресії.

(запис числа та теми уроку в зошити)  (слайд 3)

Давайте розглянемо послідовності чисел:     (слайд 4)

1, 3, 5,7,…….

1, 2, 4, 8,…………

5, 10, 15, 20,……

24, 12, 6, 3,……..

Арифметична прогресія (означення)

Геометрична прогресія (означення)

d= 3-1=5-3=7-5=2 – різниця арифметичної прогресії

q=2:1=4:2=8:4=2 – знаменник геометричної прогресії

a1  - перший член а. п.

b1 – перший член г. п.

a2 = a1 + d

b2= b1 · q

a3 = a2 + d = a1 + 2d

b3= b2 · q = b1 · q²

an = a1 + (n – 1)d – формула n-го члена а.п.

bn=  b1 · qn-1 – формула n-го члена г.п.

 

задача на обчислення суми ста перших натуральних чисел

Цю суму німецький математик Гаус у п’ятирічному віці обчислив дуже швидко.

S = 1+     2+   3+ ……+99+100

S =100+ 99+98+……+ 2  +  1

2S=101+ 101+101+….+101+ 101

S= 101 · 100: 2                                             (слайд 5)

Sn =  - формула суми

n-перших членів а. п.

Sn =  - формула суми

n-перших членів г. п.

 

Властивість членів прогресії        (слайд 6)

Будь-який член а.п., крім першого дорівнює середньому арифметично-му двох сусідніх з ним членів

Квадрат будь-якого члена г.п., крім першого, дорівнює добутку двох сусідніх із ним членів

 

ІV. Закріплення вивченого

Розв’язування вправ з підручника (А.Г.Мерзляк,В.Б.Полонський, М.С.Якір. Алгебра. Підручник для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів. Харків «Гімназія», 2009.)

№ 663, 665, 669, 677, 688

V. Підсумок уроку    (слайд 7)

Вправа «Незакінчене речення»

На уроці я: - дізнався……..

- зрозумів………

- навчився………

- на наступному уроці я хочу…..

 

VІ. Домашнє завдання           (слайд 8)

- Опрацювати § 21 – 24,

- виконати вправи 664, 673 або 678, 680

- Підготувати повідомлення про німецького математика Карла Гауса


Теги: Крутій Н.В., прогресії
Навчальний предмет: Алгебра
Переглядів/завантажень: 104/22


Схожі навчальні матеріали:
Всього коментарів: 0
avatar