Головна » Алгебра

Похідна та її застосування. Урок з алгебри для 11 класу

Мета: Узагальнення та систематизація знань, вмінь та навичок учнів з теми; формування вмінь працювати самостійно, спілкуватись, допомагати іншим, аналізувати ситуацію; розвиток загально навчальних навичок, творчого, логічного мислення, цікавості, уяви, кмітливості, оперативності при виконанні вправ; прищеплення бажання мати якісні, глибокі знання; виховання уваги, зібраності, організованості, відповідальності перед членами групи та вимогливості до себе, формування інтересу до навчання та до предмету.

Обладнання: Портрети І. Ньютона, Г. Лейбніца, пам'ятки учням,”аркуші настрою”, роздатковий матеріал, презентація.

Девіз: Розум людський має три ключи, які все відкривають:знання, думка, уява.  Віктор Гюго.

Хід уроку

1.Мотивація навчання.

Учитель: Сьогодні проведемо з вами ділову гру під назвою “Компетенція”. Виникає запитання: а що ж це означає?

Компетенція – коло питань, у яких дана особа має знання, досвід.

Компетентний (з латинської - “здатний”, “відповідний”) - це той, хто вміє застосовувати набуті знання та досвід.

Усе людське життя — це не що інше, як бажання досягти успіху в розв'язуванні все нових питань та проблем. Для цього,звичайно, необхідно бути розумною, освіченою, компетентною людиною. Стати такою можна тільки тоді, коли розум не знає ні хвилини спокою, а силу розумові додають вправи і постійний пошук.

Наш сьогоднішній урок — теж пошук, пошук шляхів досягнення успіху, бо тільки компетентна людина може досягти успіху.

Я сподіваюсь, що сьогодні ми з вами успішно попрацюємо і всі будуть задоволені від зустрічі на цьому уроці.

Як досягти успіху?Рецепти досягнення успіху ви і одержите на сьогоднішньому уроці. Тому пропоную вам не тільки попрацювати з математичним матеріалом, а й дати відповідь на запитання: що саме допомогло вам досягти успіху та поповнити свій життєвий досвід подолання труднощів.

Девізом сьогоднішнього уроку буде висловлювання  Віктора Гюго « Розум людський має три ключи, які все відкривають: знання, думка,уява.

    Досягти успіху можна тільки тоді, коли є певна мета. Мета сьогоднішнього уроку для вас  така: ви повинні показати раціональне використання свого розуму при удосконаленні своїх компетенцій з теми, назва якої зашифрована у цьому ребусі.

   Тож нехай кмітливість вам допомагає,

   Алгебраїчні таємниці кожен з вас пізнає!

   Вона на вигляд недолуга:

   Штришок маленький, та й усе,

   Але яку значну потугу

   Цей ледь помітний знак несе!

   Це символ моря знань високих,

   Який не має меж і дна.

   Не ступите не раз ні кроку

   Без терміну, що зветься “похідна”.

    Оголошення очікуваних результатів уроку.

*Удосканалити компетенції з теми.

*Навчитися працювати разом.

*Перевірити свої знання.

    Учитель: Шановні одинадцятикласники! Ви правильно визначили тему уроку. Ви за власним бажанням увійшли до однієї з груп-”конкурентів”. Визначіть, який результат ви сподіваєтесь отримати від  уроку. На обдумування — 1 хвилина.

    У кожній групі є свій “спонсор знань”, який зможе  упродовж  уроку надавати вам допомогу,а свої досягнення ви будете фіксувати в “аркушах оцінювання”.

                        Аркуш оцінювання з теми “Похідна та її застосування”

П.І.

Бажаний очікуваний  бал, результат

“Мозковий штурм”      теорія (кросворд)  (1-7б )

  Робота в групі              Формули (знайди відповідь) ( 1-5б )

Практичний тренінг   тестування ( 1- 12б )

                                              «Збери четвірку» ( 1-12б )

Повідомлення      ( 5б  )

Розвязування задач ( 5б )

Логічний лабіринт ( 4б )

Самооцінка

                       Пам'ятка для учня, яка є  у кожного, нехай допоможе вам психологічно настроїтись.

                                                        Пам'ятка для учня

**  Визнач на основі виконаного властивий ступінь оволодіння навчальним   змістом.

 ** Будь уважним, май гарний настрій.

 ** Будь наполегливим і не бійся помилятись.

  **Міркуй самостійно, твори і дій наполегливо.

  **Пробуй оцінити себе об'єктивно.

2. Актуалізація опорних знань.

-« Мозковий штурм» ( розгадування кросворду ) під девізом: « Хай живе теорія»

Ви добре впорались з теоретичним матеріалом, а чи знаєте ви формули для знаходження похідних?

Уміння працювати самостійно є дуже важливим і в навчанні, і в житті. Але, крім того, для досягнення успіху в житті потрібно мати друзів, партнерів. Тому під час виконання наступної роботи дозволяється здійснювати взаємодопомогу. ( На роботу дається  5 хвилин.)

Вам потрібно знайти відповіді до кожного з пяти завдань на картках відповідей. Розмістіть їх у такому самому порядку, я і номери завдань, переверніть картки, не порушуючи порядку їх розміщення і ви отримаєте бажане для вас слово. Бажаю всім досягти успіху!

Чи всі задоволені результатом роботи? Чи багато помилок допустили?

 Український філософ,письменник Г. С. Сковорода писав: «Найкраща помилка та, яку допускають під час навчання». Дуже часто показником успіху в житті є не тільки кінцевий результат. А і процес його досягнення.

Інтерактивна вправа «Діалог» Де саме ми використовували похідну?
Під час знаходження кутового коефіціента дотичної до графіка функції
При запису рівняння дотичної до графіка функції
Знаходження найбільшого та найменшого значення функції
Дослідження функції на монотонність та екстремум і побудова графіка функції

( Звернути увагу на домашнє завдання, яке підготували учні)

Заслуховування повідомлень

Учитель. А зараз послухаємо повідомлення, підготовлені нашими «спонсорами знань» за матеріалами додаткової літератури.

Як бачимо, похідна дає змогу досліджувати функції та розв'язувати багато прикладних задач. А як використовується похідна в повсякденному житті? Ось послухайте легенду.

Повідомлення I групи

Шлях Дідони

Цікавою є легенда про відшукування найбільшого значення функції, за якою засновниця м. Карфагена Дідона, дочка царя тірів, посварившись з братом Пігмаліоном, втекла від свого батька і після багатьох  пригод  з'явилася на південному узбережжі Середземного моря. Тут, у царя Нарбаса, за невеликі гроші вона купила  шматок  землі «не більше, ніж можна обміряти шкурою бика» - як зазначалося в  угоді.  Місцеві  жителі вважали умову буквальною і розраховували, що Дідоні  для нового поселення дістанеться дуже маленький клаптик узбережжя. Проте спритна Дідона розрізала шкуру бика на найтонші смужки,  зв'язала їх мотузкою і, закріпивши один її кінець на березі моря, пішла з іншим вздовж берега.

               Перед нею постало питання: яку форму потрібно надати мотузці, щоб «обміряти шкурою бика» найбільшу площу?

                Зокрема, це  є задача на пошук замкненої кривої даної довжини, що обмежує найбільшу площу. Виявляється, що такою кривою є коло (перевірте). Дідоні, щоб розв'язати задачу потрібно було обійти півколо з центром у точці О. Довжина цього півкола дорівнює довжині мотузки. Як ви вважаєте, це тільки легенда?

Учитель.  Від історії до фізики та техніки – один крок.

Повідомлення II групи

Похідна у фізиці й техніці

               Поняття похідної виникло у XVII столітті  у зв'язку з  необхідністю розв'язати деякі математичні і фізичні задачі. Задачу про побудову дотичної  розв'язав  Г. Лейбніц, про визначення миттєвої швидкості під час прямолінійного нерівномірного  руху – І. Ньютон, який прийшов до поняття  похідної, виходячи з положення механіки. Результати своїх досліджень І. Ньютон виклав  у трактаті «Метод флексій», опублікованому в 1736 році. Учений називав похідну флексією, а саму функцію – флюентою.

               Похідна – це швидкість зміни функції. Нехай матеріальна точка рухається вздовж координатної прямої   х  за законом x=x(t). Тоді похідна від координати за часом у даний момент є швидкістю руху в цей момент часу.  У цьому полягає її механічний зміст.

               Поняття похідної як швидкості зміни функції використовується під час означень  багатьох фізичних величин.  Наприклад, похідна швидкості руху за часом є прискорення;  похідна величини заряду за часом є сила струму; похідна потоку магнітної індукції за часом є електрорушійна сила індукції; похідна роботи за часом є потужність.

Повідомлення III  групи

З історії похідної

               «Алгебра щедра. Дуже часто вона дає більше, ніж  у неї просять.»

Ж. Д'Аламбер

               До відкриття похідної незалежно один від одного прийшли два відомих учених – І. Ньютон і Г. Лейбніц наприкінці XVII століття.  Проте, ще задовго до цього Архімед розв'язав задачу на побудову дотичної  до кривої та знайшов максимум функції f(x)=x2(a-x).

               Різні задачі, що пов'язані з поняттям похідної, зустрічалися у працях  Н. Тартальї, М. Кеплера, Р.  Декарта та інших.

               І. Ньютон сформулював і розв'язав основну проблему математичного аналізу: « За даною довжиною шляху в будь-який момент часу знайти швидкість руху у вказаний час». І якщо він виходив із задач механіки, то Г. Лейбніца – із геометричних задач. У Г. Лейбніца первісним поняттям була дотична, а у І, Ньютона – швидкість.

               Швидкість зміни функції f(x) у точці х0 називається похідною функції  f(x) у точці  х0.

Чи завжди існує похідна функції? Необхідною умовою  існування похідної є її неперервність для даних значень х. Але вона не є достатньою.

Вчитель.  Ви побачили багатогранність використання похідної  у фізиці та техніці і переконалися, що математика не тільки «цариця», але й «служниця» інших наук.


 * Розвязування задач із збірника Сканаві та ЗНО

 Перевірка та корекція знань та вмінь учнів.

Практичний тренінг  ( учням треба пройти тестування на КП)

Учитель.  Наступний етап, який вам пропонується - розв'язування тестів.  Увага!  Відповідей до тестів може бути більше одного.

До речі слово «test» в перекладі з англійської мови означає «випробування». Вперше його застосував у серпні 1966 року професор В. Серве з Бельгії. Отже, тестовій перевірці знань вже майже 40 років.

Тест

Виберіть правильне твердження:

а) (х5)'=5х6

б) (х5)'=5х4

в) (х5)'= х4

г) (х5)'=5х5

Виберіть правильний запис формули знаходження похідної частки:

а) (U/V)'=U'/V'

б) (U/V)'=(UV-U'V')/V2

в) (U/V)'=(U'V-V'U)/U2

г) (U/V)'=(U'V+V'U)/V2

Виберіть правильну відповідь для знаходження (x4-x2)':

  а) Це похідна частки

  б) (x4-x2)'=(x4)'+(x2)

  в) (x4-x2)'=4x3+2x

  г) (x4-x2)'=4x3-2x

Відомо, що похідна деякої функції f(x) має такі знаки, як на малюнку:

 

а) Функція зростає на проміжку (-∞;2)
б) функція зростає на проміжку (3;∞)

в) функція зростає на проміжку (2;3)

г) немає такого проміжку, де дана функція зростає

Задано функцію f(x)=1/x4. Які з тверджень правильні?

  а) (1/х4)'=-
  б) (1/х4)'=-4/х5

  в) f(1)=4
  г) f(1)=-4

Тіло рухається прямолінійно вздовж осі х так, що координата тіла змінюється за формулою х(t)=5t2+1. Які з тверджень правильні?
  а) Швидкість тіла можна обчислити за формулою V(t)=x'(t)
  б) швидкість тіла можна обчислити за формулою  V(t)= 5t+1
  в) через 1 секунду швидкість тіла буде 11 м/с
Задано складену функцію f(u(x)): f(x)=(7x+1)5. Виберіть правильні твердження:
  а)  Для заданої функції u(x)=7x-1
  б) ((7x+1)5)'=5u∙ (7x+1)'
  в) ((7x+1)5)'=35 ∙ (7x+1)4
  г)  ((7x+1)5)'=5 ∙ (7x+1)4
Задано функцію f(x)=-x + 3x. Які з тверджень правильні?
  а) f(x)=0 тільки при х=1
  б) задана функція має дві критичні точки
  в) на області визначення знаки похідної та поведінка заданої функції будуть такими, як на малюнку.

 

            Відповіді до тесту:

б ( 1 б.)
в ( 1 б.)
г ( 1 б.)
в ( 1 б.)
б ( 1 б.)
а, г ( 2 б.)
б, в ( 2 б.)
б, в ( 2 б.)

Інтерактивна гра  « Збери четвірку»
Інтерактивна вправа «Логічний лабіринт».

Учитель.  Працюючи разом, маючи поруч надійних партнерів, ви досягали успіху. Але і в житті, і в навчанні часто для цього треба вміти працювати без допомоги, самостійно. Щоб кожен міг з упевненістю сказати, що він досяг  успіху, необхідно самостійно працювати  над  виконанням аналогічних завдань. Адже китайська мудрість проголошує:

«Покажи мені – і я запам'ятаю. Дай мені  діяти самому – і я навчуся».

Які, на вашу думку, функції пропущено в даній таблиці?

 

7х3-5х

cos x

xsinx

21x2-5

-sin x

?

42x

-cos x

?

Учитель. Полічіть суму балів, які ви собі поставили в «аркуші оцінювання» - це і буде ваша самооцінка за урок.

Виберіть   домашнє  завдання відповідно до набраних балів.

Поставтесь відповідально до виконання домашнього завдання, оскільки з повторенням кожного означення,  твердження,  формули,  з виконанням кожного завдання ви наближаєтесь до досягнення мети, до успішної здачі державної підсумкової атестації, що є дуже важливим для вас.

IV. Домашнє завдання.

VII. Підсумок уроку.

 Інтерактивна вправа «Мікрофон».

Учитель.  Саме час повернутися до початку уроку, до мети, яку ми перед собою поставили. Поміркуйте, чи досягли ви її, чи відтворили знання про похідну, чи перевірили свої навчальні досягнення  під час виконання завдань? Чи змогли удосконалити свою компетентність з даного питання?

       Крім того, треба дати відповідь на запитання: « Що допомагало нам досягти успіху?» Уміння аналізувати є дуже важливим у наш насичений інформацією час. Людиною, що вміє аналізувати, практично неможливо маніпулювати, вона завжди знайде вихід з будь-якої ситуації. У вас є 1-2 хвилини для обговорення результатів сьогоднішньої роботи.

       (Учні виражають свої думки по черзі).

        Я переконалася, що ви – клас однодумців, які вміють застосовувати набуті знання, а це означає, що кожний з вас, як і сьогодні,  так і в майбутньому буде компетентний в певній галузі.

       Думаю, уміння аналізувати ситуацію ще не раз стане вам у нагоді.

       Усе людське життя – це не що інше, як постійне визначення мети та бажання досягти успіху під час розв'язування все нових завдань і проблем.

       Тож учіть свій розум та душу бачити добро, і тоді дорогу до успіху буде для вас відкрито!

« НЕ МАХАЙ НА ВСЕ РУКОЮ, НЕ ЛІНУЙСЯ, А УЧИСЬ,

БО ЧОГО НАВЧИШСЯ В ШКОЛІ, ЗНАДОБИТЬСЯ ЩЕ КОЛИСЬ!»


Теги: Середа А.А., похідна
Навчальний предмет: Алгебра
Переглядів/завантажень: 906/62


Схожі навчальні матеріали:
Всього коментарів: 0
avatar