Головна » Алгебра

Похідна та її застосування

Мета уроку: систематизувати й узагальнити теоретичні знання; формувати вміння та навички  застосовувати набуті знання для розв’язування прикладних задач; активізувати пізнавальну діяльність, розвивати креативне мислення; показати актуальність математики в бізнесовій сфері як шлях до майбутньої професійної діяльності.

Тип уроку: урок-гра.

Форма роботи: групова.

Обладнання: комп’ютер, діапроектор, екран.

ХІД УРОКУ.

1.     Слово вчителя: Процеси і явища, що відбуваються в світі, тісно переплітаються. Найрізноманітніші науки, що вивчають ці процеси і явища, пов’язані одна з одною і з математикою, завдяки використанню математичних методів дослідження, які неможливі без теоретичних знань математики, її фундаментальних понять та формул.

З метою узагальнення і систематизації знань з теми «Похідна та її застосування» ми проведемо нетрадиційний урок, урок - ділова гра. Уявімо себе працівниками компанії мобільного зв’язку «Limes», слоганом діяльності якої є вислів «Розширюємо границі спілкування». На уроці ми продемонструємо не тільки знання з математики, а й уміння застосовувати набуті знання на практиці під час розгляду ситуативних завдань. Також ми переконаємось ще раз в прикладній спрямованості математики, її зв’язком з виробництвом. По­кажемо актуальність математики в сфері бізнесу та можливої професійної діяльності в майбутньому.

Першим етапом ділової зустрічі є засідання ради директорів, яке відбудеться за участі:

-          директора відділу з розвитку та стратегічного планування;

-          директора відділу економіки;

-           директора відділу маркетингу;

-          директора відділу фінансів.

Директори підготували презентації про результати своєї діяльності. Надамо їм слово.

2.    Виступи директорів.

3.     Операція «Мозковий штурм». Відділи обмінюються запитаннями та інформацією (повторення теоретичного матеріалу: означення похідної, її геометричний та механічний зміст, правила обчислення похідних, таблиця похідних елементарних функцій).

4.    Практикум з розв’язування практичних задач (робота у відділах). Кожен відділ одержує своє завдання, розв’язки задач записуються учнями маркером на ватмані.

5.   Захист виконаної роботи, коментарі, пояснення, обґрунтування.

6.   Підсумок уроку.

Слово вчителя: сьогодні на уроці ми переконалися в тісному зв’язку математики з підприємницькою діяльністю. Ви відчули себе учасниками виробничої сфери і, я думаю, це допоможе вам у виборі професії. Ми повторили і опрацювали масу теоретичного та практичного матеріалу і хай вашим життєвим кредо будуть слова Давида Файєрмарка: «Бачить той, хто дивиться. Перемагає той, хто знає».

 

Директор з маркетингу

Я хочу вам доповісти про вплив похідної в різних сферах діяльності. Розглянемо задачу про продуктивність праці.

Нехай функція u = u(t) відображає кількість виробленої продукції u за час t і необхідно знайти продуктивність праці в момент часу t0. За період часу від t0 до t0+Δt  кількість виробленої продукції зміниться від значення u0 = u(to) до значення         u0 + Δu = u(t0+Δt). Тоді середня продуктивність праці за цей період часу:

Продуктивність праці в момент часу t0 можна визначити як граничне значення середньої продуктивності за період часу від t0 до t0+Δt, при умові, що Δt 0, тобто

Таким чином, продуктивність праці є похідна від обсягу виробленої продукції за певний період часу.

Математичні засоби дослідження деяких проблем економіки, зокрема аналізу і прогнозу попиту, обсягу виробництва, витрат і т.д. основані на понятті маржиналізм — граничний (marginal — франц.). Основні маржиналістські концепції - гранична корисність, гранична продуктивність, гранична ефективність капіталу. Це питання з розряду областей прикладної математики.

 

Директор з економіки

Розглянемо поняття, яке ілюструє економічний зміст похідної. Витрати виробництва будемо розглядати як функцію кількості продукції X, що виробляється.

Нехай ΔХ - приріст продукції, тоді ΔY — приріст витрат виробництва  —  середній приріст витрат виробництва на одиницю продукції.

Похідна    — виражає граничні витрати виробництва і наближено характеризує додаткові витрати на виробництво одиниці додаткової продукції. Граничні витрати залежать від рівня виробництва (кількості продукції, що випускається) X і визначаються не постійними виробничими витратами, а лиш змінними (на сировину, паливо та ін.). Аналогічним чином можуть бути визначені гранична виручка, граничний прибуток, граничний продукт, гранична корисність, гранична продуктивність та інші граничні величини. Застосування диференційного числення для дослідження економічних об'єктів та процесів на основі аналізу граничних величин дістало назву граничного аналізу. Граничні величини характеризують процес зміни економічного об'єкта.

Похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного процесу за певний проміжок часу.

 

Фінансовий директор

Я хочу в якості прикладу розглянути співвідношення між середнім та граничним прибуток в умовах монопольного та конкурентного ринків.

Сумарний прибуток (виручка) від реалізації продукції г можна визначити як добуток ціни одиниці продукції р на кількість продукції q , тобто

г=pq

В умовах монополії одна або декілька фірм повністю контролюють пропозицію певної продукції, а отже і її ціну. При цьому із збільшенням ціни попит на продук­цію падає.

Вважаю, що цей процес проходить по прямій, тобто крива попиту P(q) є лінійна спадна функція:

P=aq+b, де а<0, b>0.

Звідси сумарний прибуток від реалізованої продукції складає

r=(aq+b)q=aq2+bq.

В цьому випадку середній прибуток на одиницю продукції

а граничний прибуток, тобто додатковий прибуток від реалізації одиниці додаткової продукції складатиме:

r'(q)=2aq+b.

Звідси в умовах монопольного ринку зі зростанням кількості реалізованої продукції граничний прибуток зменшується, внаслідок чого відбувається зменшення серед­нього прибутку.

В умовах ринку вільної конкуренції, на відміну від монопольного ринку, середній та граничний прибутки збігаються.

Для дослідження економічних процесів та вирішення інших прикладних задач ви­користовується поняття еластичності функції.

Еластичністю функції  Е(х) називається границя відношення відносного прирос­ту функції у до відносного приросту аргументу х, при Δх→0.

Це знову ж таки похідна і геометричний зміст еластичності нагадує геометричний зміст похідної - це тангенс кута, який утворює дотична до кривої в даній точці з до­датним напрямком осі ОХ.

Еластичність функції застосовується при аналізі попиту та пропозиції.

 

Директор з розвитку і стратегічного планування

Я доповім вам про дослідження в сфері диференціалу.

Похідна - диференціал (Differential - латинською різниця).

Дійсно, похідною називається границя різницевого відношення приросту функції до приросту аргументу, за умови, що приріст аргументу прямує до 0.

Термін “границя” і відповідний символ lim (латинське limes - границя) вперше був введений англійським математиком і механіком Ісааком Ньютоном (1643-1727р.)

Відкриттю похідної і основ диференціального числення передували роботи французького математика П’єра Ферма (1601-1665). Далі продовжували розвивати теорію Декарт, Лейбніц, Ньютон, Ейлер, Лагранж. Позначення похідної у' і f '(x) ввів французький математик Лагранж.

Ейлер перший почав використовувати грецьку букву Δ для позначення приросту аргументу Δх = х2-х1, і приросту функції Δу = у2-у1.

Найпростіші диференціальні рівняння з'являються в працях Ньютона і Лейбніца.

Саме Лейбніцу належить термін “диференціальне рівняння”. Диференціальні рівняння мають велике значення в прикладній математиці. Вони є знаряддям дослідження багатьох задач в механіці, хімії та інших науках.

Рене Декарт висловив таку думку: «Усе навколо нас відбувається математичним шляхом». Вивчивши тему «Похідна. Застосування похідної» ми переконались, що Рене Декарт був правий.

 

Завдання для працівників відділу фінансів

1.                     Залежність між витратами виробництва у і обсягом продукції х, що випускається, визначається функцією:

У=50 х2 - 0,05х (грошових одиниць)

Визначити граничні витрати за умови, що обсяг продукції-100 од.

2.        Складіть і розв’яжіть рівняння:

 

3.         Складіть і розв’яжіть нерівність

а) f(x)=x4-4x2

 

4.                     Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції

 

в точці з ординатою -1.

 

Завдання для працівників відділу маркетингу

1.     Обсяг виробленої продукції змінюється за законом

U(t)=t3-2t2+5

Знайти продуктивність праці протягом однієї декади.

 

2.                Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції

f(x)в точці х0, якщо:

     f(x) = (х2 – 1)(x3 + х), х0 = -1;      

3. Знайдіть похідні функцій:

 

а)f(x) = 2х5- ;                              б) f(x) = (  + 1)х3.  

 

4.     Тіло масою m кг рухається за законом x(t) (х — в метрах t — в секундах). Знайдіть силу, яка діє на тіло в момент часу t0, якщо

 

m= -3,  t0= 2,

х(t) = 0,25t4 +  t3-7t + 2.

 

Завдання для працівників відділу економіки

1.   Знайдіть тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції f(x)

в точці х0 :

а)   f(x) = Зх2 - 12х + 5,   х0 = -1;    

б)   f(x) = 4соs x +х, х0 = .              

2.   Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) в точці х0 :

f(x) = , x0 = 2.               

3.  Матеріальна точка рухається за законом

x(t) = t4- 4t3 + 12t2 -3        

(x — в метрах, t — в секундах).

Визначте швидкість точки в момент, коли її прискорення мінімальне.         

4.  Пряма проходить через точки

А(-4;-2) і 5(0; 1).                                

Визначте, в якій точці вона дотикається до графіка функції                         

 

Завдання

для працівників відділу розвитку та стратегічного планування

1. Знайдіть приріст функції:

 

а)        f(x) = 2х-3,                                   б)  f(x) = х2 + 2,

якщо х0 = 1, Δх = 0,2;                                 якщо х0 = -2, Δх = 0,01.

 

2.Користуючись означенням, знайдіть похідну функції f(x) в точці x0:

f(x) =  -х, х0=2;                         

3. Користуючись означенням, знайдіть похідну  функції f(x) в кожній точці D(f):

а) у = ;                                          

б) f(x) =  -7.

4. Знайдіть похідні функцій:

а) у = 2x3 -  + 4;                            

б) y = 2cos x -3tg x.                        


Теги: похідна, Шостак Л.Ф.
Навчальний предмет: Алгебра
Переглядів/завантажень: 261/36


Схожі навчальні матеріали:
Всього коментарів: 0
avatar