| Головна » Алгебра |
Мета: розглянути фізичні моделі, пов‘язані з процесами органічної зміни величин, що дозволяють дати означення показникової функції, перелічити її властивості та побудувати її графік; розширювати світогляд учнів; виховувати інтерес до вивчення математики. Обладнання: плакати з графіками показникових функцій.
План лекції. 1. Вступ. Приклади процесів, які мають спільну назву. 2. Означення показникової функції. 3. Властивості показникової функції. 4. Побудова графіка показникової функції. 5. Висновки.
1. В природі і техніці часто зустрічаються процеси, які мають спільну назву процесів органічної зміни величин. Ця назва пов‘язана із тим, що такі процеси часто зустрічаються в біології. Значна властивість цих процесів полягає в тому, що за однакові проміжки часу значення величини змінюється в одному і тому ж самому відношенні. Наведемо приклади, в яких величини змінюються по вказаному вище закону. Приклад 1. При радіоактивному розпаді маса речовини змінюється по наступному закону: за рівні проміжки часу вона змінюється в одному і тому ж відношенні. Процеси, в яких величина зменшується за рівні проміжки часу в одному і тому ж відношенні, називають процесами органічного спадання. Приклад 2. Якщо колонія бактерій має достатній простір і достатню кількість поживних речовин, то її маса за рівні проміжки часу збільшується в одному і тому ж відношенні. В таких випадках говорять про процеси органічного росту. Якщо в початковий момент часу (тобто t=0) значення величини дорівнювало 1, а в момент часу t=1 воно дорівнювало а, то в момент часу t=2 величина буде мати значения а2, а в момент часу t=3 – значения а3, …, в момент часу t=n – зачерня аn.Але масу радіоактивної речовини або колонії бактерій можна спостерігати і в інші моменти часу, наприклад через 3, 2 одиниці часу після початку спостерігання. Можна поставити запитання і про те, яка була маса за деякий час до початку спостерігання. Умовимося позначати цю кількість в момент часу t через аt незалежно від того, чи є t натуральним числом чи ні. Таким чином, значення t може бути цілим, дробовим, ірраціональним, додатнім, нульовим та від‘ємним (в останньому випадку мова йде про моменти часу. Що передували початку спостерігання). 2. У всіх розібраних прикладах значення виразу а t при всіх значеннях t додатнє. При а>1 значення а t збільшується (як у випадку розмноження бактерій), а при 0< а<1 значення а t зменшується з ростом t (як у випадку радіоактивного розпаду). Оскільки проміжки часу [0;T] і [t0; t0+T] мають однакову довжину T, значення а t на протязі цих проміжків часу змінюються в одному і тому ж самому відношенні. Тому справедлива пропорція , із якої випливає, що аT*at0=a0*at0+T. Але a0=1, тому справедлива рівність аT*at0= at0+T. Отже, для описання таких процесів, як радіоактивний розпад або розмноження бактерій, потрібна функція ах, де а>0. Означенная. Показниковою функцією називається функція виду у=ах, де а>0 і а 1. Наприклад, у=2х, у= х, у= х, у= х – показникові функції. 3. Властивості показникової функції. 1) Область визначення: х R. D(ax)=R 2) Область значень: у>0 Е(ax)=(0;+ ) 3) Фнкція ні парна ні непарна. 4) Вірні рівності а1= а і а0=1. 5) Якщо а>0, то функція ах зростає на всій області визначення; якщо 0< а<1, то вона спадає на всій області визначення. 6) у>0 при всіх значеннях х R. 7) Найбільшого і найменшого значень функція не має. 8) Для будь-яких дійсних значень u і v (а>0; b>0) виконуються рівності: au*av=au+v (au)v=auv (a*b)u=au*vu
4. Побудову графіка показникової функції можна вивчати таким чином. 1) Нехай з початку спостережень маса колонії бактерій дорівнювала 1 г, причому за кожну наступну годину вона зростала в 2 рази. Побудуємо графік зміни маси m в залежності від часу х. Залежність між масою і часом виражається формулою m=2х. Для побудови графіка обчислимо масу колонії через 1, 2, 3, 4 години до початку і після початку спостереження. Дані обчислювання занесемо в таблицю 1, вважаючи, що час до початку спостереження був від¢ємним.
Побудуємо точки А1(-4; );. А2(-3; ); А3(-2; );…, А9(4;16). Ми бачимо, що одержані точки лягають на плавну криву (рис.1). З¢єднуючи ці точки одержуємо ескіз графіка функції 2х (рис.2).
На цьому графіку наочно видно уже відомі властивості цієї функції: із зростанням х значення функції зростають, при чому при достатньо великих значеннях х значення 2х стають як завгодно великими (наприклад, 210=1024, 220=1048576 і т.д.). Схожі на вигляд графіки функцій ах при будь-якій основі а, більшій за 1. Всі графіки проходять через точку А(0;1). 2) Маса радіоактивної речовини змінюється по закону m=m0( )t. Побудуємо графік зміни маси радіоактивної речовини в часі, вважаючи, що початкова маса m0=1 г. Для цього використаємо рівність . Ця рівність показує, що таблицю значень функції одержуємо із таблиці значень функції 2х зміною знаків у першому рядку (табл.2).
Так як точки А(х;у) і В(-х;у) симетричні відносно осі ординат, то графік функції симетричний відносно цієї осі графіку функції 2х (рис.3).
По рис.3 бачимо, що всі значення також додатні, але ці значення зменшуються при збільшенні х. Графік функції також проходить через точку А(0;1). Схожий вигляд мають графіки показникової функції ах при 0< а<1. На рис.4 зображено графіки функцій та . Бачимо, що якщо 0<a<b<1, то на додатній півосі вище йде графік функції ах, а на від¢ємній півосі – графік функції bх. 5. Отже, розглянута нами теорія дає можливість для розв¢язування текстових задач, показникових рівнянь та нерівностей. Вкажемо інші випадки органічної зміни величин: а) при проходженні світла через мутне середовище сила світла на проміжках даної довжини зменшується в одному і тому самому відношенні; б) тиск повітря при даній різниці висот зменшується в одному і тому самому відношенні; в) швидкість тіла, що рухається в середовищі, опір якого пропорційний швидкості, за даний проміжок часу зменшується в одному і тому самому відношенні, та багато інших. Графік показникової функції називають експонентою, а процеси, які можна описати функцією виду у=ах., експоненціальними процесами. Домашнє завдання. Зап. 1-5 с.170 – усно; Впр. 2, 6 (5-8), 7 (5-8) с.171 – письмово (Є П. Нелін, ОЄ. Долгова. Алгебра.11 клас: підручник для загальноосвітніх навчальних закладів: академічний рівень, профільний рівень.– Х.Гімназія, 2011).
Використання показникової функції під час вивчення явищ навколишнього середовища
Багато процесів у природі і техніці математично виражаються за допомогою показникової функції. У підручнику (Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10-11 кл. загальноосвіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-Еко, 2001) розглядаються: - задача про радіоактивний розпад; - задача про зміну атмосферного тиску; - задача про розмноження бактерій; - задача про вакуумування; - задача про приріст деревини. Пропонується ще декілька задач про експоненціальні процеси: - задача про розмноження водяних лілій; - задача про банківський вклад; - задача про приріст населення. Дійсні функції з законом відповідності виду с*ах називаються експоненціальними функціями. Розглянемо процеси, які характеризують експоненціальне зростання.
Експоненціальні процеси
1. Припустимо, що в деякому великому ставку щоденно подвоюється кількість водяних лілій. Якщо спочатку було 5 водяних лілій, скільки їх буде через 1, 2, 3, 5, 10 днів? Подай загальну формулу для кількості Аn водяних лілій через n днів. Скільки б їх стало через 30, 60 днів, якби ставок був достатньо великим?
Розв¢язання.
Через 1 день: 5*2 = 10 = А1. Через 2 дні: 5*2*2 = 20 = А2. Через 3 дні: 5*2*2*2 = 40 = А3 Через 5 днів: 5*25 = 160 = А5. Через 10 днів: 5*210 = 5120 = А10 Через n днів: 5*2 = 10 n = А nє А30 5.37*109. А60 5.76*1018.
2. Капітал К0 вкладено на 15 % річного прибутку. На яку суму зріс К0 через 1, 2, 3, … n років, якщо прибуток щорічно додається до капіталу, а тоді разом опроцентовується? Для К0 = 1000 подай графічно відповідну функцію.
Розв¢язання. Через 1 рік: К0 + 0.15 К0 = (1+0.15) К0 = 1.15 К0 = К1 Через 2 роки: К1 + 0.15 К1 = (1+0.15) (1+0.15) К0 = (1+0.15) 2 К0 = К2 Через 3 роки: К2 + 0.15 К2 = (1+0.15)3 К0 = 1.15 К0 = К3 Через 5 років: (1+0.15)5 К0 = К5 При К0 = 1000: К1 = 1150; К2 = 1322.5; К3 = 1520; К5 = 2011.4; К n = 1000*1.15 n.
3. Нехай кількість населення деякої держави зростає експоненціально, причому за рік приріст становить 8%. Скільки населення буде через 5, 6, 10, 2 , 3 років, якщо сьогодні воно становить 8.5 мільйонів?
Розв¢язання. Через 5 років: (1+0.08)5*8.5*106 = 12.49*106; Через 6 років: (1+0.08)6*8.5*106 = 13.49*106; Через 10 років: (1+0.08)10*8.5*106 = 18.35*106; Через 2 роки: (1+0.08)2*8.5*106 = 1.17*8.5*106 = 9.95*106; Через 3 роки: (1+0.08)3*8.5*106 = 1.26*8.5*106 = 10.71*106; Через 2.5 роки: (1.17+ (1.26-1.17))*8.5*106 = 10.32*106; Через 4 роки: (1+0.08)4*8.5*106 = 1.36*8.5*106 = 11.56*106; Через 3.5 роки: (1.26+ (1.36-1.26))*8.5*106 = 11.13*106.
Схожі навчальні матеріали: | ||||||
| Всього коментарів: 0 | |