Головна » Алгебра

Дійсні числа. Відсоткові розрахунки

Мета:

освітня: розширити уявлення учнів про число, числові множини; закріпити поняття натуральних, цілих, раціональних та ірраціональних чисел.  Ввести поняття дійсного числа, розкрити об’єктивну необхідність  вивчення дійсних чисел. Актуалізувати суб’єктивний досвід учнів  про основні закони арифметичних дій над дійсними числами;

розвиваюча: розвивати критичне мислення, спонукати до пізнавальної діяльності;

виховна: виховувати інтерес до математики, до нових знань і прагнення їх набути; створити ситуацію успіху для кожного учня.

Тип уроку. Урок-семінар

Обладнання. Опорні картки, діаграма Ейлера (додаток 1), тестові

                   завдання, картина Н.П.Богданова-Бєльського «Усний рахунок»,

                   плакат «Структурна схема мовлення», плакати з висловами.

Вислови:  

             «Число – монарх, що зводиться на трони,

                     На книги й вежі міст являти чудо й суд.

                     І замкнуто міста, і замкнуто закони,

                     І в знаки чисел входить абсолют»

                                                                  (М.Бажан)

«Число є найчистіше кількісне визначення, яке ми тільки знаємо. Але воно сповнене якісних відмінностей»

                                                                   (Ф.Енгельс)

«Цілі числа – першоджерело математики»

                                                                (Г.Мінковський)

«Натуральні числа – це вільні витвори людського розуму»

                                                                (Р.Дедекінд)

 

План уроку

 

Хід уроку

І. Організація класу. Створення емоційного настрою

Технологія особистісно розвиваючого навчання «Обмін думками»

Погляньте на картину Н.П.Богданова-Бєльського «Усний рахунок». Бачите - які зосереджені та натхненні обличчя змалював художник в учнів, що розв’язують задачу, поставлену учителем. На сьогоднішньому уроці я бажаю вам теж натхнення і наснаги.

ІІ. Актуалізація суб’єктивного досвіду і опорних знань

«Інтелектуальна розминка»

З якими числовими множинами ми знайомі з курсу основної школи?
Назвати дії першого та другого ступеня.

На множині яких чисел можна сміливо виконувати тільки дії додавання та множення?

Яку числову множину необхідно додати, щоб можна було виконати дію віднімання? Дію ділення?

ІІІ. Мотивація навчання

Технологія «Подорож у дитинство»

Пам’ятаєте, як у дитинстві ви всі любили відгадувати загадки? Сьогодні я теж пропоную відгадати вам загадку. Даю підказку: і сама загадка, і її відгадка пов’язані із темою нашого уроку.

В середньовічній Європі їх іноді називали «мавританським танцем дев’ятьох». Хто ці танцюристи і  в якій країні з’явився їх дивний партнер по танцю?

(В Індії. Це нуль, а «Мавританський танець дев’ятьох» – арабські цифри)

ІV. Повідомлення теми і мети уроку

Сьогодні наш урок пройде у вигляді семінару. Ви заслухаєте повідомлення своїх товаришів, які вони спеціально підготували, діставши випереджаючі завдання, та попрацюєте у групах над розв’язуванням тестових завдань. Хочу дати пораду виступаючим: використайте структурну схему мовлення, постарайтеся використати усе багатство свого голосу. (Відкривається плакат)

V. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу

1. Виступи учнів, які отримали випереджальні завдання. Виступи супроводжуються оглядовим поясненням схем та діаграм на опорних картках учнів

Перший учень. Число – первинне поняття математики, математична абстракція. Цифри – це математичні знаки для позначення чисел. З натуральними числами 1, 2, 3, … і цілими (0, 1, 2, 3 …) ми знайомі ще з курсу початкової школи. Натуральні числа використовують для підрахунку предметів і для вказівки порядкового номера того чи іншого предмета серед однорідних предметів.  Такими числами позначають також наближений результат вимірювання величин, коли одиниця вимірювання вміщується у вимірюваній величині ціле число разів. Наприклад, довжина кімнати 5 м. Наближене значення довжини тут визначене натуральним числом 5.

         Поняття натурального числа, як і поняття точки, прямої і площини у геометрії, належить до основних понять, які вводяться без означення.

         Натуральні числа записуються за допомогою десяти цифр (символів) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При цьому використовують спосіб запису, який дістав назву десяткової системи. В його основу покладено поняття розряду і класу чисел. Будь-яке натуральне число можна записати у вигляді суми розрядних одиниць. Наприклад, 6 302 872 = 6 000 000 + 300 000 + 2000 + 800 + 70 + 2.

         У множині натуральних чисел завжди можна виконувати дії додавання та множення, в результаті яких теж дістанемо натуральне число. Для цих дій справджується переставний і сполучний закони, а також розподільний закон множення відносно додавання і віднімання:

а + в = в + а;             а · в = в · а;

(а + в) + с = а + (в + с);        (а · в) · с = а · (в · с);

(а + в) · с = а · с + в · с;     (а – в) · с = а · с – в · с.

Число 0 (нуль) не є натуральним. Але якщо до множини натуральних чисел приєднати нуль, то дістанемо розширену множину натуральних чисел.

Другий учень. Додатні і від’ємні числа були введені в математику у зв’язку з потребами практики – виражати числом значення величин, які можуть змінюватися у двох протилежних напрямках (зміна температури, рівня води у річці відносно умовного нуля, прибуток і борг і т.д.). В алгебру додатні і від’ємні числа було введено у зв’язку з потребою виражати числом корінь рівняння виду а + х = в у випадку коли в  < а.

Рис. 1

         На координатній прямій додатні числа зображаються праворуч від точки 0, а від’ємні – ліворуч. Два числа, які відрізняються одне від одного лише знаком, називаються протилежними. Наприклад: 2 і -2 (див. рис. 1 на опорній картці).

         Натуральні числа, протилежні їм числа і число 0 називаються цілими числами.

Третій учень. Числа, які можна подати у вигляді , де п і т – будь-які цілі числа, причому , називають раціональними. Цілі числа і дроби є раціональними числами. Дробові числа виникають у зв’язку з необхідністю виразити числом результат вимірювання різних величин (довжин, площ, кутових величин, часу та ін.). часто також доводиться знаходити частину чисел або кілька рівних частин предмета (яблука, відрізка, прямокутника тощо). Дробові числа можна записувати у вигляді десяткових або звичайних дробів. Будь-яке раціональне число можна подати у вигляді скінченого або нескінченного періодичного десяткового дробу. Наприклад, перетворюючи число  у нескінченний десятковий дріб, матимемо дріб 1,08910891…. Цей дріб – періодичний, бо цифри частки періодично повторюються. Групу цифр, що повторюються, називають періодом дробу, у записі період беруть у круглі дужки. В даному випадку дріб    = 1,(0891). Якщо при діленні матимемо остачу 0, то дістанемо скінчений десятковий дріб, який також можна записати у вигляді нескінченного періодичного дробу. Наприклад, =0,3125=0,3125000…=0,3125(0).  

Можна також перетворювати і нескінченні періодичні десяткові дроби у звичайні. Існує декілька правил таких перетворень. Наведемо одне: щоб перетворити періодичний дріб у звичайний, треба від числа, що стоїть до другого періоду, відняти число, що стоїть до першого періоду, і записати цю різницю чисельником; у знаменнику написати цифру 9 стільки разів, скільки цифр у періоді, і після дев’яток дописати стільки нулів, скільки цифр між комою і першим періодом. Наприклад:

.

Четвертий учень. Для вимірювання використовують не тільки раціональні числа, але і числа іншої породи, тобто ті, які не є ні цілими, ні дробовими. Всі такі числа називаються ірраціональними. Наприклад, довжина діагоналі квадрата зі стороною 1 повинна виражатися деяким додатним числом r, таким, що r 2 = 12 + 12 (за теоремою Піфагора), тобто таким, що r2 = 2. доведемо методом від супротивного, що такого раціонального числа не існує.

         Нехай , де  - нескоротний дріб і . З рівності т2 = 2п2 маємо, що т – парне число, тобто т = 2к. підставивши в рівність т2 = 2п2 замість т число 2к, знайдемо: 4к2 = 2п2, тобто п2 = 2к2. Звідси випливає, що п – також парне число. Прийшли до суперечності: дріб   скоротний (на 2).

         Аналогічно не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює 5, 7, 10. Відповідні ірраціональні числа позначаються . Протилежні їм числа також ірраціональні, вони позначаються .

         Необхідно підкреслити, що до ірраціональних чисел приводить не тільки задача відшукання числа, квадрат якого задано деяким додатним числом. Наприклад, число π, яке виражає відношення довжини кола до його діаметру, неможна представити у вигляді звичайного дробу – це ірраціональне число. Ірраціональними числами є і значення тригонометричних функцій багатьох кутів.

         Оскільки будь-яке раціональне число можна записати у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу, то кожне ірраціональне число можна записати у вигляді нескінченного десяткового неперіодичного дробу.

2. Пояснення учителя у вигляді міні-лекції

         Поняття числа в історії розвитку математики поступово розширювалося і розвивалося. Спочатку були введені натуральні числа і нуль для лічби, потім дробові числа для вимірювання величин і ділення натуральних чисел. Пізніше у зв’язку з потребами практики і розв’язування рівнянь було введено від’ємні числа (дробові і цілі), які разом із цілими і дробовими додатними числами і числом 0 утворили множину раціональних чисел.

У множині раціональних чисел виконуються всі чотири арифметичні дії – додавання, віднімання, множення і ділення, крім ділення на нуль.

Раціональні і ірраціональні числа утворюють множину дійсних чисел. Кожному дійсному числу відповідає єдина точка координатної прямої. Множину дійсних чисел називають також числовою прямою. Геометричною моделлю числової прямої служить координатна пряма.

Для позначення числових множин прийнято такі символи (див. опорну картку):

N – множина натуральних чисел.

Z – множина цілих чисел.

Q – множина раціональних чисел.

R – множина дійсних чисел.

Як легко побачити, ці числові множини задовольняють такі співвідношення: . Наочно ці співвідношення можна показати за допомогою кругів Ейлера (див. діаграму в опорній картці).

 

Правила дій над дійсними числами у випадку, коли вони належать до раціональних чисел, відомі. Проте якщо одне або обидва числа є ірраціональними, то виконання дій над ними, як правило, зводиться до виконання дії над їх раціональними наближеннями.

Приклад. Знайти суму чисел  і  .

Запишемо нерівності:

Для знаходження суми  +  почленно додають ліві і праві частини записаних нерівностей:

Утворення таких нерівностей і додавання їх дає змогу знайти суму даних чисел з точністю до будь-якого десяткового знака.

VI. Узагальнення і систематизація вивченого матеріалу

Робота у гетерогенних групах. Розв’язування тестових завдань

Зараз я пропоную закріпити вам знання з теорії і пропоную для цього тест. Вибравши букви правильних відповідей, ви можете скласти речення – моє побажання вам на сьогоднішній день.

Зразки завдань:

1. Розташувати числа   у порядку спадання.

2.  Найбільша числова множина, що може включати в себе всі інші числові множини, це множина:

3. Які з наведених чисел раціональні?

4. Порівняйте числа 

5. Обчисліть 

6. Скільки натуральних розв’язків має нерівність (3х-2)(3х+2)-3х(х-4) 44?

7. Знайти суму дійсних коренів рівняння 2х2 – х + 1 = 0.

8. Перетворивши звичайний дріб  у десятковий періодичний і округливши його до тисячних, одержали:

9. Кожне ірраціональне число можна записати у вигляді:

 

Нескінченного десяткового неперіодичного дробу

Звичайного дробу

Натурального числа

Нескінченного десяткового періодичного дробу

Скінченого десяткового дробу

 

Отримане речення «Успіху вам»

VII. Підсумок уроку. Виставлення оцінок

Рефлексивна бесіда-самооцінка роботи в групі

Я допомагав(ла) іншим учням, заохочував(ла) їх до роботи
Я вносив(ла) вдалі пропозиції, які були враховані в ході розв’язування
Я активно працював(ла) у групі
Я узагальнював(ла) думки інших та просував(ла) роботу класу вперед

VIII. Домашнє завдання

Розв’яжіть рівняння: (х2 + 8х)(х2 + 8х – 6) – 280 = 0. У відповіді вкажіть суму всіх дійсних коренів рівняння.
Творче завдання: довести, що  - ірраціональне число.


Теги: Мельник Г.М., відсоткові розрахунки
Навчальний предмет: Алгебра
Переглядів/завантажень: 670/60


Схожі навчальні матеріали:
Всього коментарів: 0
avatar