Головна » Алгебра

Арифметична прогресія та її застосування. Урок з алгебри для 9 класу

Мета уроку:

1. Навчальна – продовжити роботу над визначеннями  арифметичною прогресією; формулами n-го члена, суми n перших членів; характеристичними властивостями, яким мають члени прогресії; виробити загальні рекомендації з виконання завдань, що містять дані прогресії. Ознайомлення учнів з історичним матеріалом.

2. Розвиваюча – продовжити подальшу роботу з вироблення вміння порівнювати математичні поняття, знаходити подібності й відмінності, уміння спостерігати, помічати закономірності, проводити міркування за аналогією; сформувати вміння будувати й інтерпретувати математичну модель деякої реальної ситуації.

3. Виховна – сприяти вихованню інтересу до математики і її додаткам, активності, умінню спілкуватися, аргументовано відстоювати свої погляди.

Задачі:

·         узагальнити й закріпити теоретичні знання учнів;

·         розвивати вміння й навички застосовувати формули прогресій при розв'язку задач;

·         підвищити інтерес до предмета, розширити кругозір по даній темі.

Тип уроку:  урок закріплення матеріалу.

Обладнання на уроці: комп'ютер,  мультимедійний проектор

Структура уроку:

Підготовчий етап (мотивація вивчення нового, виявлення цілей уроку й орієнтація учнів у навчальній діяльності на уроці).
Актуалізація ЗУН
Відпрацьовування ЗУН по темі
Розв'язок задач практичного напрямку
Самостійна робота
Підведення підсумків уроку й домашнє завдання.

ХІД УРОКУ

1.Орг.  момент.

На початку уроку привітання до учнів.

«Тему сьогоднішнього уроку ми довідаємося, розгадавши кросворд:» 

1. Як називається графік квадратичної функції?

2. Математичне твердження, справедливість якого доводят.

3. Упорядкована пара чисел, що задає положення точки на площині.

4. Наука, що виникла в далекої давнини у Вавилоні і Єгипті, а учні  починають її вивчати з 7 класу.

5. Лінія на площині, що задається рівнянням   у=кх+b.

6. Числовий проміжок.

7. Математичне твердження, прийняте без доказу.

8. Результат додавання.

9. Назва другої координати на площині.

10. Французький математик 19 століття, «батько» алгебри, юрист, розгадав шифр, який застосовували іспанці у війні із французами, а нам допоміг у швидкому  розв'язку квадратних рівнянь.

Отже, тема уроку «Прогресії». 

Тема сьогоднішнього уроку: Арифметична прогресія і її застосування. Сьогодні на уроці ми повинні повторити визначення арифметичної  прогресії, формули та за їх допомогою  успішно розв’язувати задачі. Побачити тісний зв'язок між математикою та навколишним світом.

Що означають фрази?

«Частка пенсіонерів у країні росте в арифметичній прогресії…»

« При зростаючій відносній масі ракети … швидкість ракети росте в арифметичній прогресії…»

Давайте згадаємо визначення арифметичної прогресії й основні формули.

Названі формули занесемо в таблицю.

 
Дайте визначення арифметичної прогресії.
Як перевірити чи є число членом арифметичної прогресії? ( Якщо різниця між наступним і попереднім членом послідовності одне й теж число, то дана послідовність є арифметичною).
Назвіть формулу п-го члена арифметичної прогресії.
У чому полягає властивість арифметичної прогресії. (Кожний член арифметичної прогресії, починаючи із другого рівний середньому арифметичному двох сусідніх з ним членів).
Назвіть формули суми п-перших членів арифметичної прогресії.

 

«Перевір себе!»

Які з послідовностей є арифметичними прогресіями?

3, 6, 9, 12,…..   

5, 12, 18, 24, 30,…..

7, 14, 28, 35, 49,….

5, 15, 25,….,95….

1000, 1001, 1002, 1003,….

1, 2, 4, 7, 9, 11…..

5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2,….

«Обчисли усно»

Знайди різницю арифметичної прогресії:

1; 5; 9………

105; 100….

-13; -15; -17……

11;?; 19,….

«Розв'яжи задачу»

Між числами 6 і 21 вставте 4 числа так, щоб разом з даними числами вони утворювали арифметичну прогресію.

Розв'язок:      = 6,     = 21,

d = (21 – 6)/ (6 – 1)= 3,

6, 9, 12, 15, 18, 21.

Звертаємося до сторінок історії.

На цьому етапі відбувається розширення знань і вмінь учнів через інтеграцію з історією.

Історія арифметичної прогресії

Закінчився ХХ століття, а термін “прогресія” був уведений римським автором Боэцием ще в IV с. н.е. Від латинського слова progressio – “рух уперед”.

Перші спогади про арифметичну прогресію були ще у прадавних народів. У клинописних вавилонських табличках і єгипетських папірусах зустрічаються задачі на прогресії та вказівки як їх розв’язувати. Вважалось, що в давньоєгипетському папірусі Ахмеса перебувала найдавніша задача на прогресії про винагороду винахідника шахів, що нараховує за собою двохтисячорічну давнину. Але є набагато більш стара задача про ділення хліба, яка записана в знаменитому єгипетському папірусі Ринда. Папірус цей, розшуканий Риндом піввіку назад, складений близько 2000 років до нашої ери і є списком з іншого, ще більш прадавнього математичного твору, що відноситься, можливо, до третього тисячоріччя до нашої ери. У числі арифметичних, алгебраїчних і геометричних задач цього документа є така, яку ми приводимо у вільній передачі.

Задача: (задача з папірусу Ринда)

Сто мір хліба розділили між 5 людьми так, щоб другий одержав на стільки ж більше першого, на скільки третій одержав більше другого, четвертий більше третього й п'ятий більше четвертого. Крім того, двоє перших одержали в 7 раз менше трьох інші. Скільки потрібно дати кожному?

Розв'язок задачі: Зрозуміло, що кількість хліба, яку отримав кожен з учасників розділу, становить зростаючу арифметичну прогресію. Нехай перший її член x, різниця y. Тоді:

а 1–Частка першого – x,
а2–Частка другого – x+y,
а3–Частка третього – x+2y,
а4–Частка четвертого – x+3y,
а5–Частка п'ятого – x+4в.

На підставі умови задачі складаємо наступні 2 рівняння:

Після спрощень перше рівняння має вид x+2y=20, а друге 11x=2y.

У давньоєгипетському папірусі Ахмеса (ок. 2000 до н.е.) приводиться задача: “Нехай тобі сказане: розділити 10 мір ячменя між 10 людьми так, щоб різниця мір ячменя, отриманого кожною людиною і його сусідом, дорівнювала 1/8 міри”.

Єгипетські задачі на папірусах  Ахмеса.

 

«Цікава властивість арифметичної прогресії».

Дана “зграйка дев'яти чисел”:

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19.

 Вона являє собою арифметичну прогресію. Крім того, дана зграйка чисел приваблива здатністю розміститися в дев'яти клітках квадрата 3х3 так, що утворюється магічний квадрат з константою, рівної 33.

Чи знаєте ви, що таке магічний квадрат? Квадрат, що полягає з 9 кліток, у нього вписують числа, так щоб сума чисел по вертикалі, горизонталі діагоналі була тим самим числом- constanta.

Зауваження про арифметичну прогресію саме по собі дуже цікаво. Справа в тому, що з кожних дев'яти послідовних членів будь-якої арифметичної прогресії натуральних чисел можна скласти магічний квадрат.

 

Магічні квадрати.

 

Самостійна робота

1) а1 = 5, d = 3, а7 -?       23

2) а4 = 11, d = - 2, а1-?      17

3) а4 = 12,5, а6 = 17,5  а5 -?      15

4) а1 = -3, а2 = 4, а16 -?      102

5) а1 = 4, а7 = -8, d -?      -2

6) а7 = -5, а32 = 70, а1 -?      -23

7) 2, 5, 8,…   S11 -?      187

«Психологічне розвантаження».

У Вас на столах лежать аркуші, на яких написані цифри від 1 до 9. Тепер розфарбуйте один ряд двома різними кольорами в будь-якому порядку. Як я це зробила, показане на слайді.

А поки Ви розфарбовуєте, я розповім про чудового математика на прізвище Рамсей. Він жив на початку ХХ століття. Їм була створена теорія, що доводить, що у світі немає абсолютного хаосу. Що навіть,  сама неупорядкована система має певні математичні закономірності. Згадаєте, коли ви дивитеся на зірки, то може здатися, що розташовані вони в самому випадковому порядку. Але ще в стародавності люди побачили там сузір'я Риб і Касеопеї, Лева й Оріона.

І от на ваших картках ніби то цифри розфарбовані у випадковому порядку. Але Рамсей довів, що це не так, довівши наступний факт: Зверніть увагу, що хоча б три які небудь числа одного кольору обов'язково складають арифметичну прогресії. Запишіть ці числа.

Європейські сторінки.

Тут ми маємо на меті познайомитися із ще одним з відомих математиків.

Про одне цікавому епізоді з життя німецького математика К.Ф.Гаусса (1777-1855).

Коли йому було 9 років, учитель, прагнучи надовго зайняти дітей, задав на уроці наступну задачу:

“Порахувати суму всіх натуральних чисел від 1 до 40”

Напрочуд учителя один з учнів (це був Гаусс) через хвилину викликнув: “Я вже розв'язав”. У зошиті Гаусса було тільки одне число, але зате вірне.

[Картинка 9 из 339] Учням пропонується розв'язати ту саму задачу, адже 9 – літній Гаусс із нею впорався. Міркування Гаусса – як перевірка:

У Німеччині молодої Карл Гаусс знайшов моментально суму всіх натуральних чисел від 1 до 100, будучи ще учнем початкової школи.

1+2+3+4+…+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101x50=5050.

У нашім житті таких задач зустрічається дуже багато в різних галузях науки.

Німецький математик К.Ф. Гаусса (1777-1855).

 «Порахувати суму всіх натуральних чисел від 1 до 100 включно:

1+2+3+4+5+…+100».

Із цього факту

відбулася проста формула

 арифметичної прогресії

 

Сторінки Російської історії.

Перший підручник “ Арифметика” Магницкого (кінець 18 в.). У цьому підручнику є значна кількість задач на прогресії. Приведемо приклад задачі аналогічної тим, що згадуються в математичному підручнику:

“ Хтось продавав коня. Просив за нього 25 рублів. Купец, що побажав купити, обурився, що дорого. “Добре, - відповів продавець. Бери коня даром, а заплати тільки за цвяхи на його підковах. А цвяхів у всякій підкові 6 штук. І будеш ти мені платити за них у такий спосіб: за перший цвях 10 копійок, за другий цвях 20 копійок, за третій – 30 копійок і т.д.” Купець же, думаючи, що заплатить набагато менше, чим 25 рублів, погодився. Чи проторгувався купець, і якщо так, то на скільки?”

Навіть у літературі ми зустрічаємося з математичними поняттями.

ЯМБ – це віршований розмір з наголосом на парних складах 2; 4; 6; 8; …. Номера ударних складів утворюють арифметичну прогресію з першим членом 2 і різницею прогресії 2.

 Мій дядько самих чесних правил …

 ХОРЕЙ – це віршований розмір з наголосом на непарних складах вірша. Номера ударних складів утворюють арифметичну прогресію 1; 3; 5; 7; …

Бура мглою небо криє …

« Сім чудес світу» Єгипетські піраміди.

Піраміда складена з ретельно оброблених і щільно пригнаних вапнякових блоків вагою від 7 до 30 тонн. Причому кожна наступна була легше попередньої на 0,0001 тонн. Скільки блоків треба було для спорудження цієї піраміди?

IV. Розв'язок задач практичного напрямку.

А зараз розділимося на шість  груп й проведемо практичну роботу. Як сказав наш мудрець – математика – це точна наука. Пропоную вам розв'язати  задачу. На кожну задачу дається в середньому 2 хвилини. Після того як команда розв'яже задачу, один з учасників записує відповідь на дошці.  

Задача 1. Курс повітряних ванн починають із 15 хв. у перший день і збільшують час цієї процедури в кожний наступний день на 10 хвилин. Скільки днів слід приймати ванни в зазначеному режимі, щоб досягтися їхньої максимальної тривалості 1 година 45 хвилин?

Дано: арифметична прогресія, а1=15 хв, d=10 хв,

 

Знайти:   n

Розв'язок:

 

 15+10(n-1)=105

10n=100

n=10

Відповідь: 10 днів слід приймати ванни.

Задача 2.

 

Задача 3. Робітник виклав плитку в такий спосіб: у першому ряді - 3 плитки, у другому - 5 плиток і т.д., збільшуючи кожний ряд на 2 плитки. Скільки плиток знадобитися для 7 ряду?

Розв'язок:

a1=3, d=2,  a7 -?

a7=a1+6*d=3+2*6=15

Задача 4.При вільнім падінні тіло проходить у першу секунду 4,9 м, а в кожну наступну на 7,8 м більше. Знайдіть глибину шахти, якщо вільно падаюче тіло досяглося її дна через 5с з  початку падіння.

Задача 5. У період інтенсивного зростання людина росте в середньому на 5см у рік. Зараз ріст Олексія – 170 см. Якого росту він буде в 2026 році?

Задача 6. Кожний курець викурює в день у середньому 8 сигарет. Після викурювання першої сигарети в легенях осідає 0,0002 г. нікотину й тютюнового дьогтю. З кожною наступною сигаретою ця кількість збільшується на 0,000001 г. Яка кількість шкідливих речовин осідає в легенях за рік? (Відповідь: 4,846 г.).

Ян Амос Коменский говорив: «Уважай  нещасним  той день або ту годину, у яку ти не засвоїв нічого нового, нічого не додав до свого розвитку». Я сподіваюсь, що на сьогоднішньому уроці ви знайшли для себе хоч крупинку корисного. Спасибі всім за участь.

Підсумок уроку. Домашнє завдання: Скласти умову задачі по темі «Арифметична прогресія в житті й побуту» (на окремому аркуші) і розв'язати її. 


Теги: Петрікова Н.І., арифметична прогресія
Навчальний предмет: Алгебра
Переглядів/завантажень: 512/44


Схожі навчальні матеріали:
Всього коментарів: 0
avatar