Арифметична прогресія, її властивості. Формула n-го члена арифметичної прогресії - Алгебра - Авторські уроки та презентації - Розробки навчальних матеріалів
Головна » Алгебра

Арифметична прогресія, її властивості. Формула n-го члена арифметичної прогресії

Мета уроку: Ввести поняття арифметичної прогресії, розглянути її   властивості; вивести формулу n – го члена та навчити учнів застосовувати її до розв’язування задач.

Розвивати в учнів вміння працювати в групах, самостійно опрацьовувати навчальний матеріал та пояснювати його однокласникам.

Виховувати в учнів культуру математичного мовлення.    

Тип уроку:   Урок засвоєння нових знань.

 

Хід уроку:

Організаційна частина.

 

Актуалізація опорних знань:

Перевірка домашнього завдання:
Фронтальне опитування:

як позначаються послідовності і їх члени?
яка послідовність називається скінченною?
яка послідовність називається нескінченною?
способи задавання послідовностей.

 Усні вправи:

         Визначити способи задавання послідовностей:

         а ) ( bn ): 0,1; 7; 0,2; 8; 0,3; 9.

         б )  ( bn ): дільники числа 24.

 

         в )

 

          г ) an  = 5n;      an = 2 n + 1.

          д ) an+1 = an ∙ 3, а1 = 4.

        Для завдання а ): - скільки членів має послідовність?

назвати третій член послідовності?
який номер має член, що дорівнює 0,3?
який член є наступним за числом 8?
який член є попереднім до числа 7?

     4. Робота по карткам ( на місцях ).

 

 III. Мотивація учбової діяльності.

 

 IV. Засвоєння нових знань:

       Клас ділиться на шість груп. В кожній групі вибирається доповідач, який після опрацювання отриманого матеріалу, висвітлює своє питання біля дошки.

       Над опрацюванням питань групи працюють 5-7 хв.

        1 група: Означення арифметичної прогресії, різниця арифметичної     прогресії.

        2 група: Формула n – го члена арифметичної прогресії.

 3 група: Застосування формули n – го члена для знаходження             довільного її члена.

 4 група: Застосування формули n – го члена для знаходження її першого члена.

 5 група: Застосування формули n – го члена для знаходження різниці арифметичної прогресії.

 6 група: Застосування формули n – го члена для знаходження номера її члена. 

 

Означення арифметичної прогресії

    Арифметичною прогресією називається послідовність, кожний член якої, починаючи із другого, дорівнює попередньому члену, до якого додається одне й те ж число.

     Це число називається різницею арифметичної прогресії і позначається d (d – початкова буква латинського слова differentia – різниця )

    Тоді арифметичну прогресію можна задати рекурентною формулою:

                                                 аn+1 = an + d, звідки d = an+1 - an

Приклад 1:   1; 4; 10; 13; 16; 19; 22; …

                    У цій послідовності кожний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається число 3, тобто d = 3.

Приклад 2:   -2; -4; -6; -8; -10;…

                   У цій послідовності кожний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається число -2, тобто d = -2.

    Наведіть свій приклад арифметичної прогресії

 

Формула n – го члена арифметичної прогресії

Нехай перший член арифметичної прогресії а1, d – різниця. Тоді за означенням арифметичної прогресії :

                      а2 = а1 + d;

                      а3 = а2 + d = ( а1 + d ) + d = а1 + 2d;

                      а4 = а3 + d = ( а1 + 2d ) + d = а1 + 3d;

                      а5 = а4 + d = ( а1 + 3d ) + d = а1 + 4d.

Помічаємо, що у цих формулах коефіцієнт при d на 1 менший від порядкового номера члена прогресії. Отже можна записати:

 

аn = а1 + ( n -1 ) d  - формула n – го члена арифметичної прогресії.

 

Застосування формули n – го члена для знаходження довільного її члена

Приклад: Знайти дев′ятий член арифметичної прогресії ( аn ): 5; 4,2; 3,4; …

Розв’язання:

Маємо: а1 = 5. Знайдемо різницю прогресії: d  = 4,2 – 5 = - 0,8. Тоді

  а9 = а1 +8d,   а9 = 5 + ( - 0,8 ) ∙ 8 = - 1,4.

Завдання: Знайти вісімнадцятий член арифметичної прогресії: 1; 1,3; 1,6;…

 

      Застосування формули n – го члена для знаходження її першого члена

Приклад: Знайти перший член арифметичної прогресії ( аn ), у якій d = - 2, а8 = 93.

Розв’язання:

Застосуємо формулу n – го члена арифметичної прогресії для n = 8:

 

а8 = а1 + 7d і підставимо відомі значення:  93 = а1 + 7 ∙ ( – 2 ),

                                                                        93 = а1 – 14,

                                                                         а1 = 93 + 14,

                                                                         а1 = 107.

Завдання: Знайти перший член арифметичної прогресії, якщо її різниця дорівнює 0,5,  а дев’ятий член 3.

 

Застосування формули n – го члена для знаходження різниці арифметичної прогресії

Приклад: Знайти різницю арифметичної прогресії ( аn ), у якій а1 = 10, а5 = 22.

Розв’язання:

Застосуємо формулу n – го члена арифметичної прогресії для n = 5:

а5 = а1 + d( n – 1 ) і підставимо відомі значення:  22 = 10 + d ∙ 4,

                                                                                   4d = 22 – 10,

                                                                                   4d = 12,

                                                                                     d = 3.

Завдання: Знайти різницю арифметичної прогресії ( аn ), у якій а1 = 28, а15 = - 21.

 

Застосування формули n – го члена для знаходження номера її члена

Приклад: Чи є число 181 членом арифметичної прогресії, у якій а1 = 3, d = 5?

Розв’язання:

Число 181 буде членом прогресії, якщо існує таке натуральне число n  - порядковий номер члена прогресії,  що аn = 181.

Застосуємо формулу n – го члена арифметичної прогресії: аn = а1 + ( n -1 ) d 

   181 = 3 + ( n – 1 ) ∙ 5,

   181 = 3 + 5n – 5,

   181 = 5n – 2,

    5n = 181 + 2,

    5n = 183,

      n = 36,6.

Число 36,6 не є натуральним, тому число 181 не є членом арифметичної прогресії.

V. Первинне осмислення та сприйняття отриманих знань.

    1.

       Робочий зошит ( Т. Г. Роєва )

     1. № 11 ( а )

     2. № 12 ( а )

     3. № 13 ( а )

     4. № 14.

VI. Використання знань в стандартних умовах:  Ю.І. Мальований, Г.М. Возняк,

Г.М. Литвиненко,   Алгебра,9 клас.

     Задача № 475 (а).

     Задача № 476 (а).

VII. Підсумок уроку.

VIII. Домашнє завдання: пункт 10.2 № 473 (б), № 475 (б), № 476 (а), №479 (а)


Теги: арифметична прогресія, Павленко Л.О.
Навчальний предмет: Алгебра
Переглядів/завантажень: 317/41


Схожі навчальні матеріали:
Всього коментарів: 0
avatar